概率是归纳问题的核心题目，但是像因果性一样，概率具有不同的含义。考虑下面的陈述： 从一副完整的扑克牌中抽出一张黑桃的概率是1/4。 一个20岁的男子活到75岁的概率是0.63。 玛格丽特与彼得将会结婚的概率很高。 在每个陈述中，“概率”一词的意义都不相同。这种不同源于这一事实：在每种情况下是用不同的方法来确定或估计概率。确定从一副扑克牌中抽出一张黑桃的概率，使用的是一种纯数学的方法。给定一副扑克共有52张牌，并且有13张是黑桃，13被52 除得到1/4。确定一个20岁的男子活到75岁的概率则采用了不同的做法。为做到这点，必须抽取一个由20岁的男子组成的大数量的样本，并计算能够再活55年或以上的人的数量。还有一种方法是用来确定玛格丽特与彼得将会结婚的概率的。这种概率只能被大约地估计，而这样做要求我们熟悉玛格丽特和彼得，了解他们是如何彼此感到满意以及他们是如何乐于结婚的。这3种做法给出了3种不同的关于概率的理论：古典理论、相对频率理论和主观主义理论。 古典概率理论的起源可以追溯到17世纪数学家布莱斯••帕斯卡和皮埃尔••德•费马确定机会游戏的打赌投注赔率的研究。此外，这种理论又被称为概率的先验理论，因为所做的计算独立于任何对实际事件的感觉观察。根据古典理论，一个事件A出现的概率用下面的公式计算： P(A)＝ 其中f是有利的结果的数目，n是可能的结果的数目。例如，计算从一副扑克牌中抽出一张A牌的概率，有利的结果的数目是4（因为共有4张A牌），而可能的结果的数目是52（因为一副扑克中有52张牌）。于是，这一事件的概率是4/52或1/13（或0.077）。 重要的是不要把一个事件发生的概率与打赌其发生的投注赔率混为一谈。对适用于古典理论的事件而言，打赌一个事件A将会发生的公平的投注赔率是由下面的公式给出的： Odds(A)＝f:u 其中f是有利的结果的数目，u是不利的结果的数目。例如，从一副扑克牌中抽出一张A牌的公平的打赌投注赔率是4比48或者是1比12，因为有4张A牌，并且有48张牌不是A牌。或者假设有5匹马参加赛跑，有3匹马是你的，有2匹马是你朋友的，并且任何一匹马都有相等的机会赢得比赛。你的马中有一匹马将获胜的公平的打赌投注赔率是3比2，而你的马中有一匹马将获胜的概率是3/5。 给定你和你的朋友接受这些打赌投注赔率，如果你以3美元赌你的一匹马会获胜，而且你赢得了这次赌博，那么你的朋友必须付给你2美元。另一方面，你朋友的一匹马将获胜的投注赔率是2比3，因此，如果你的朋友以2美元赌她的一匹马获胜，而且她赢得了这次赌博，那么你必须付给她3美元。 根据古典理论计算概率和打赌投注赔率包含了两个假设：（1）所有可能的结果都被考虑到了，并且（2）所有可能的结果是等可能发生的。在扑克牌的例子中，第一个假设使得只有52种初始的结果是可能发生的。换句话说，假定这副扑克牌没有被改变，这些牌将不会突然自己毁掉或者复制，等等。在赛马的例子中，第一个假设使得没有其他马参加比赛，并且参赛的马中没有马会轻易地消失。 第二个假设又被称为无差别原则，对于扑克牌的例子，它使得选择任何一张牌的可能性是相等的。换句话说，是假定了这些牌是均匀地码放的，没有两张牌被粘在一起等等。对于赛马的例子，第二个原则使得这些马中的每一匹马都具有相等的获胜机会。 当这两个假设适用于某个事件的发生时，就可以用古典理论来计算该事件的概率或它发生的投注赔率。这里有一些例子： P（掷一个公平硬币掷得正面）＝1/2 odds＝1:1 P（抽出一张人像的扑克牌）＝12/52＝3/13 odds＝12:40＝3:10 P（掷单个骰子掷出3点）＝1/6 odds＝1:5 P（掷单个骰子掷出偶数点）＝3/6＝1/2 odds＝1:1 当然，严格地说，支撑古典理论的这两个假设在实际情况中从来没有被完美地表现出来过。每一个硬币总是略微有些不匀称，就像每一对骰子都略微有些不均衡一样。因此，各个结果的概率总不会是恰恰相等。类似地，这些结果也不会是限制在第一个假设所规定的正常结果的范围之内。在掷一枚硬币时，总是有这种可能：这个硬币立起来了；在摇动骰子的时候，也有类似的可能性：有一颗骰子裂成两半。这些结果在实际的意义上或许是不可能的，但在它们不包含任何矛盾的意义上，它们是逻辑可能的。然而由于这些结果是如此的奇特，因此，认为对所有实际的目的而言，这两个假设成立并且古典理论适用就是合理的。 不过有许多的事件，古典理论所需要的两个假设对这些事件显然不成立。例如，当试图确定一位60岁的妇女在10年之内死于心脏病发作的概率时，要对所有可能的结果做出描述几乎是不可能的。她可能死于癌症、肺炎或一次特别的致命流感，她也可能因一次意外的交通事故致残，她还可能迁到佛罗里达州并在海滨买了一所房子。此外，这些结果中没有一个与其他结果相比是等可能发生的。为了计算诸如此类事件的概率，我们需要概率的相对频率理论。 相对频率概率理论起源于18世纪人寿保险公司所使用的死亡表。与依赖于先验计算的古典理论相反，相对频率理论依靠的是对某种事件发生的频率的实际观察。一个事件A发生的概率是由下面的公式计算的： P(A)＝ 其中fo是所观察到的有利的结果的数量，no是所观察到的结果的总数。例如，为确定一名50岁的男子再活5年的概率，应该观察由1000名50岁的男子组成的样本。如果有968人在5年之后还活着，那么刚才所说的50岁的男子再活5年的概率是968/1000或0.968。 类似地，如果有一个由不同颜色的面形成的不规则的椎体，一个人想确定这个椎体转动时它将停在绿色的那一面的概率，那么这个椎体应当被转动1000次。如果停在绿色一面的次数是327，那么这一事件发生的概率应被计算为0.327。 相对频率理论也可以用来计算那些遵循古典理论要求的事件的概率。例如，通过抛掷一枚硬币100次并且数一数掷得正面的次数就可以确定掷这枚硬币结果是正面的概率。如果在掷了这样多的次数之后，有46次正面被记录下来，那么一个人应该把0.46的概率指派给这个事件。这引导我们得出有关相对频率理论的重要的一点：只有在大量的情况下结果才能为真。为达到一种高度的近似，可能需要抛掷这枚硬币1000次甚至10000次，在抛掷10000次之后，应当期望得到的数目接近于5000次正面。如果实际上只有4623次正面被记录下来，那么得出这样的结论很可能是合理的，即：这枚硬币是不匀称的，或者有时候掷这枚硬币的方式是不常规的。 严格地讲，无论古典方法还是相对频率的方法都不能把概率指派给单个的事件。按照这些方法的观点，只有某个种类或类的事件才具有概率。但在现实世界中，许多事件是单一的——例如，玛格丽特与彼得结婚，或本地马在丘吉尔城赢得第四场比赛。为了说明这些事件的概率，我们转向主观主义理论。 主观主义概率理论用个人的信念的术语来说明概率的意义。尽管这样的信念是不明确的、模糊的，但是通过一个人所能接受的对某个赌博的投注赔率可以给出对信念的定量的解释。比如，如果某人相信某匹马会获胜，并且他或她愿意以7比4的赔率对这一事件发生打赌，那么这意味着他或她把7/（7+4）或7/11的概率指派给了这个事件。如果这个人在对同一事件不发生给出投注赔率时是一致的，那么这种做法就是没有问题的。例如，如果以7比4的赔率打赌某一事件将会发生，并且以5比4的赔率打赌它将不发生，那么给出这些投注赔率的人会不可避免地输掉。如果7比4的赔率被用来打赌一个事件将会发生，那么，实际上与用4比7的赔率打赌同一事件将不发生是一样的。 主观主义理论的问题之一在于，根据不同的人愿意给出的不同的投注赔率，同一个事件可以被说成是具有不同的概率。如果概率被认为是事件的真的属性，那么这似乎是一个严重的问题。这个问题可以解决，不过或者要把概率解释为信念的属性，或者是把不同的个人概率的平均值作为事件的概率。