农业盈余的出现允许一些人从事与食物生产并不直接相关的特定职业（牧师、商人、建筑工人和工匠），这就产生了城市居住区．从公元前5世纪起，更先进的社会在一些大河，如底格里斯河、幼发拉底河、尼罗河、印度河、黄河以及长江流域发展起来．这些大型河流作为通信和贸易的通道，从邻近高地带来原始材料．大量的灌溉系统把洪水引入肥沃的低地平原，使它五谷丰登．庞大的工程如防洪堤、水坝、运河、水库及仓储设施出现了，用于限制、调节水流以及安排农业生产．精美的神殿得以建造，用以安抚众神，而人们认为上述工作的成功正仰赖于他们的慈悲．人们设计并建造纪念陵园，用以为埃及统治者法老及其他“尊贵”的公民提供顺利、舒适的国度通往来世．由木材和土坯建造的东西敌不过时光侵蚀的力量，如今只剩下那些雄伟壮观的石头建筑．其一是大约建于公元前2500年古埃及首都孟菲斯附近的陵园，包括一座带一个墓室的阶梯金字塔、一座重建的法老宫殿、庭院、祭坛以及一座神殿，这些建筑均建造在由10米高的墙围成的周长1.6千米的矩形内，如今只有金字塔和部分墙残留下来．最大的几座金字塔大约在同一个时代建造，距离今天的城市吉萨不远，见图1-6．其建筑艺术让人叹为观止，除了斜坡、杠杆和结实的绳子，不使用任何机械，也没有比铜更坚硬的金属，成千上万的埃及劳工切割巨大的石块，将它们运到指定地点，并堆叠在精确的位置上．这些金字塔中最大的一座是法老胡夫的（图1-6中右方远处），它的顶点距正方形基座147米，基座的每边长230米．金字塔的顶点差不多正好在正方形基座的中心上方．它由230万块重2.5 ~20吨的石块组成．最下层的石块建在该处石灰岩基岩上，承受了大约650万吨的重量．埃及人在建造纪念碑时最常使用的材料是石灰岩和砂岩．二者均因沉积而成，石灰岩含有碳酸钙；砂岩通常更硬一些，内含沙子，一般是石英碎片，由各种物质粘合在一起．石灰岩和砂岩的结构特性取决于特定的沉积物，不过二者的雕刻与切割都不困难．金字塔内部宽敞的墓室由花岗岩建造，这样可以承受上方石块的巨大压力．花岗岩是从地球炽热的核心流出的熔岩结晶凝固而成，比石灰岩和砂岩要坚硬结实 得多． 图1-6 埃及吉萨的大金字塔，Ricardo Liberato摄 建造金字塔这样的大型建筑需要良好的组织能力、高超的专业技术以及日益庞大的中央政府所必须要进行的档案保存工作．而这些均需要更丰富的语言符号和进一步发展的数学提供支撑．河流文明的数学最初被用作一种实践科学，以方便进行历法计算、土地测量、公共项目协调、农产品轮换种植的组织以及税赋收缴．在管理人员和牧师的手中，计数及测量的实践与对形状和图案的研究逐步演变为最初的代数学和几何学． 最先进的河流文化由位于底格里斯河与幼发拉底河（今伊拉克境内）之间的美索不达米亚（Mesopotamia，希腊语中，meso意为“在……之间”，potamia意为“河流”）的人民所创造，该地域呈新月形，土地肥沃．这里的人们引入一种按位数值符号，在六十进制的基础上表示整数和分数，用楔形符号表示1, 60, 602 = 3600, 601=1/60, 602=1/602．现在我们还能从1小时等于60分钟、1分钟等于60秒、圆可以分成6×60=360°中追寻到一点蛛丝马迹．后来，公元前2000年左右，巴比伦的数学家求出了线性、二次，甚至某些三次方程的解．尤其特别的是，他们知道二次方程ax2 + bx + c = 0的解为： 巴比伦人知道我们今天所谓的毕达哥拉斯定理．即任何直角三角形，边长为a、b、c，其中c是斜边，则有a2 + b2 = c2成立．一块公元前1900年~公元前1600年间铸造的泥板证实了巴比伦人的成就．普林顿收藏中标作322号的泥板列出了一些3个一组的整数a、b和c，它们具有a2 + b2 = c2的特点．如果这些数代表直角三角形的边，那么它们就成为毕达哥拉斯定理的具体实例．例如，三组数为a = 3、b = 4、c = 5（见图1-7）．再如，a = 5、b = 12、c = 13．泥板上一些数值非常大的数组强有力地表明巴比伦人掌握了提出这些数的方法．巴比伦人还掌握了计算标准平面面积及一些简单立体体积的公式．他们还分析了天体的位置，提出计算天文学，用于预测日食和月食． 图 1-7 埃及的莱茵德纸草书是可追溯至公元前1600年左右的一幅长卷，其局部如图1-8所示．纸草书（纸草是那个时期用来当纸的植物产品）得名于苏格兰人A. Henry Rhind，他于19世纪从埃及买到这幅长卷．它的简介宣称它是“对万物的彻底研究，对一切存在的洞察，对所有隐秘的认识”．但实际上它只不过是一本用于商业和行政领域的数学练习教科书．它提出了85个数学问题以及详细的分数理论，凭此可求解许多问题，它们展现了彼时埃及数学家的才华与成就．它还记录了圆周长c与其直径d的比率 约为 ．这一比率现在记作 （更精确的估计是 ）．纸草书还包括一些实际的建议：“捕捉害虫和老鼠，拔去有毒的野草；向太阳神拉祈求热、风和丰沛的水．” 作为思想日益走向成熟的物理见证，建筑也得到了发展．带围墙的巴比伦城有着雄伟的神殿和高塔，以建筑奇观闻名世界．公元前15世纪，希腊历史学家希罗多德广泛游历了地中海地区，并记录下亲眼所见．关于巴比伦，他写道：“就富丽堂皇而言，没有其他城市可与之媲美．”但不幸的是，该城现在几乎荡然无存．它的一个内城主城门建于公元前16世纪初期，用于供奉伊斯塔女神．其中央大道以高高的半圆形拱券、贴蓝色琉璃瓦的墙以及雪松木的门和屋顶为特色．伊斯塔门的中部（只是古代城门的一小部分）现已用原址发掘的材料重建．它高14.3米，矗立在柏林的佩加蒙博物馆内．伊拉克巴格达的原址附近也有类似的复建物． 图1-8 莱茵德纸草书，现藏于伦敦大英博物馆，照片版权归大英博物馆理事会所有 埃及的建筑物比巴比伦的更能经受住时间的考验．公元前2000年中期，太阳神阿蒙升为国家的主神，激励人们建造出比以前更精美壮观的石头神殿．例如，从公元前16世纪中期到公元前14世纪，人们在如今的城市卡尔奈克附近建造了引人注目的宏伟的阿蒙神庙．一代代法老王下令建造有纪念意义的入口大门、方尖碑、巨大的雕像以及宏伟的典礼大厅．这些厅中最大的一间建于强大的拉美西斯二世统治时期．它的面积是50米×100米，用许多高大的柱子支撑着屋顶沉重的石板．从彩图3可以看出，仅现存的结构就足以让而今的游客感受到它之前的宏大及庄严． 另一个例子是同样由拉美西斯二世为其荣誉而造的阿布辛贝勒神庙，它建于公元前14世纪，位于埃及南部．图1-9展示了在尼罗河畔砂岩壁上凿出的神庙，其正面大部分被伟大的拉美西斯二世正襟危坐的雕像所占据．这些巨大的雕像高20.4米，重1200吨．较小的雕像用于纪念王后及地位稍低的权贵．图片显示砂岩已受到破坏．这座古代的阿布辛贝勒神庙有着一段现代的历史．1815年前后，一度几乎完全被流沙掩埋的它显露出来，被人们重新发现．到20世纪60年代，神庙受到上埃及阿斯旺附近大坝所形成人工湖水位上升的威胁，联合国组织人们付出了巨大的努力来进行拯救．他们将寺庙正面及其精美的内部（延伸至岩石内60.96米）切割成好几吨重的石块，然后逐一小心地移动并重新安放，最后完全按照原样把神庙挪到了百米远的较高地带． 图1-9 埃及阿布辛贝勒神庙的正面，由Louis Haghe印刷（1842~1849），选自David Roberts的绘画（1838~1839） 以上内容非常粗略地回顾了早期的数学和建筑，人类正是这样不断认识身边的形状、图案和结构，并将其用于影响他们生存的活动中去．古代文明中的数学和建筑受到不同因素的推动作用．数学的出现首先与组织和生产管理、商贸及基础设施的实际需要相关，而建筑的主要目标是给统治者及其神 的价值与伟大提供强大的视觉表达．