一点都不无聊的数学？搞笑呢吧！谁都知道数学是最令人望而生畏、最难以入门的一门学问，它有着自己独特的语言，充斥着各种费解的图示、诡异的符号和隐秘的黑话。 唉，这种观点实在是太普遍了。枯燥的作业和艰辛的考试给人们留下了痛苦回忆，更是把这种看法深深地烙印在许多人的心头。除了加一加账单、算一算日期和时间之类的日常琐事，大多数人都乐于把数学工作丢给专家去做。程序员、工程师和物理工作者发现数学在他们的工作中很有用处，这当然很好，只要他们让我们陷入技术细节，我们就乐于享受他们的 工作成果。 数学工作者也加深了人们的这种印象。长久以来，他们都被当成只是躯干上顶着的大脑而已，或多或少地缺少些常人的属性。你肯定希望在你的酒吧竞猜①队伍中有这么一个人。但是，难道你愿意在竞猜结束以后加入到他们的闲聊中吗？或者（千万别！）让他们参加你的宴会？是时候应该破除谣传、消灭偏见了。我们要承认，任何一个值得人类努力探索的领域都会最终发展到很有技术难度，那么我们也可以恰如其分地说，与其他一些或许较为文字化的领域相比，很多人会在数学方面更早地达到那种境界。但是在达到这一水平之前，却还是可以看到一个容易理解、可以亲近的数学世界。它的多彩会使你震惊，它的神秘会将你俘获，而它的美丽又将使你迷醉。 当今的数学实在是太博大了，几乎一切的形容词（甚至这些词的反义词）都可以用来描述它，只要你愿意一试。我们就用这个来开始：数学既古老又现代。它是由流传几个世纪之久的传统方法建立起来的，同时又总是积极地拥抱未来。在“文明的摇篮”——中东地区，古巴比伦数学家发明了精密的计数系统。之后，希腊思想家柏拉图、欧几里得等人在几何、 数论方面都做出了令人震惊的探索。在这古老的血统里，却有着难以抑制的现代基因，这是因为数学总是孕育在人类科学技术最前沿的进展当中，① 酒吧为了招徕顾客而在店内组织的一种智力竞猜活动，通常分组进行。（如无特别说明，本书脚注均为译者注，下同。 从计算机编程到理解宇宙，无不有着数学的身影。数学既涵盖了显微镜下之小，又有着无边无际之大，另外还有这两个极端之间的一切。对于穷其一生研究亚原子粒子的人们，数学不可或缺；而最近的宇宙仍在继续膨胀的假说，也需要数学给予它支撑。数学在发现着那些已经存在的事实，而且也在不断地创新。它提供了描述和度量自然世界的原则，同时又集人类创造力之大成，绵延数千年而不绝。换言之，数学家必须既是严格且善于分析的，又是热情而长于想象的。坚如磐石、无懈可击的证明是他们的最爱，但他们也不惧于去思考哪怕最骇人听闻的假设。数学既是关于已知的，又是关于未知的。那些古老而经久不衰的谜题 仍然在迷惑、引诱着人们。证明一个定理带来了征服难题的巨大满足感，而每一个新的发现又会促生十个新的问题，这将我们对数学的共同理解不断推进到更深的层次。 今天，克雷数学研究所为若干著名问题的解决者提供了丰厚的奖金①，这其中的每一个问题都会对我们的生活产生深远的影响。比如说，如果其中的一个问题——简要表示为“P=NP?”——能够得到解决，那么全世界的计算机网络安全就将会满目疮痍、不堪一击。数学至关重大。数学在逻辑上应当是无懈可击的——除非当它遇到了悖论。一方面，它好像沉醉于清晰整洁的结论，如同在拼图游戏里，每一块拼版都恰好填进适当的位置。例如a + b = 5，我们又知道a = 2，那么就能自信地断定b = 3。但另一方面，数学又会搅乱我们的预期。一旦达到了无穷，你还能数到更远吗？常识告诉我们“不能”，但是在19 世纪的德国，康托尔敢于站出来说“能”。数学需要证明，是康托尔而非常识获得了胜利。 数学既狂野而不守规矩，又平和而精巧细致。混沌理论预示了微小的环境差异都能够导致结果的剧烈变化。而数学原理又奠定了美学的基础，无论这指的是对称的、成比例的还是匀称的，无论我们谈论的是一张俊俏的脸庞、一幅优美的壁纸图案还是J. S. 巴赫的一首赋格曲。对一位数学鉴赏家来说，一个简明的公式（例如圆形公式）其自身就洋溢着简约的优雅，为大自然的问题提供了令人满意的答案。 我们还可以继续描述下去，但现在大概该由数学自己来说话了。这本书——作为数学世界中35 个地标的向导——正是为了献给数学世界的观光者们。我希望你们能冒险前进、遍览胜景、有所收获、有所惊讶——没准偶尔还会大为惊奇。当然最重要的还是享受这段旅程。祝你一路顺风！