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人类最早的祖先大约出现在700万年前，而人类种群也已存在了约10万年．这段时期的大部分时间内，人类的主要精力都放在获取食物和寻求遮蔽物上．他们居住在洞穴里，制造石头工具和武器，进行打猎并觅食．大约1万年前发生了一次重大转变．那时，约始于6万年前的冰河期已过去，覆盖现今欧亚大陆的冰原逐渐消退，为森林、平原和沙漠所替代．人类开始了解植物如何自然萌芽、生长，然后自己种植作物．随着时间的推移，他们从洞穴里走出来，建造自己的原始住所，以耕作为生．一些早期棚屋遗址显示它们是以松枝和骨头作为框架，覆盖兽皮建造而成．后来村庄逐渐形成，人类开始烘焙面包、酿造啤酒并储存食物．编织、陶器制作及手工艺发展起来，人们开始交换基本商品．字词被用来表达非常具体的事物，但语言的结构仍很简单．人们发现了铜，并开始冶炼青铜，将它们用来铸造工具和武器．几何图案被用来装饰陶器和编织品，而且这些图案还反映出一些数值关系．贸易活动不断向外辐射，人类的语言能力也随之提高起来．随着工艺、食品产量的提高及商业的发展，人们日益需要口头及用符号表示“有多少”以及“多少钱”，因此终于出现了数字的概念． 随后较大的社区发展起来．安纳托利亚平原（今属土耳其境内）就发掘出过一个大量居所的聚集地，其入口位于房顶上．土坯墙和木制框架围成一个个矩形空间，它们鳞次栉比，共同组成有围墙的城镇．神殿散布在住宅之间，里面有装饰性的动物图像及神祇雕塑．公元前5000年左右，这些定居点开始沿着世界上的几条大河逐渐扩展，并从这些连接彼此通信和商贸的要道中获益，成为经济繁荣、文化兴盛的城市社区．那些位于美索不达米亚（今伊拉克境内）和埃及尼罗河上下游的地方后来成为西方文明的摇篮．河流两岸肥沃的平原孕育了需要具有组织及仓储设施的大规模农业生产．人们兴建灌溉工程，控制河水泛滥，不断促进科技的发展．数学的实践就此展开．此时的数学是一种基础算数，几乎没有符号，也不能用公式表示通用方法．它用于计算基本面积和体积，实际上只是一种解决特定实际问题的工具．为了满足商业和农业的需求，为了向保佑成功的慈悲神祇表示尊敬，以及出于统治者对安稳来生的执着追求，建筑得到了发展．城市里出现了仓库、大量的神殿及精心建造的陵园．根据功用的不同，这些建筑分别由晒干的砖、石柱与木梁，以及巨石板构成．人们的审美观在有花纹的釉面砖、用于装饰的红陶器物及统治者与神祇的纪念雕像中得到表达． 1.1 感知形状与理解数字 人们开始更敏锐地注意身边的环境，小心的观望转为清醒的认识，敬畏和本能变为谨慎与深思．人们对物理世界感到好奇，开始观察事物间的相似性，并注意到规律和次序．他们观察到夜晚天空的亮光点点、地平线上的海天一线，还有月亮、太阳及眼睛虹膜的圆形．他们意识到树干垂直于平坦的地面、树干与其树枝呈一定角度、明亮天空下松树的影子是三角形．他们好奇于彩虹的弧线、雨滴的形状、叶子和花朵的图案、鱼与海星的形状、海贝的螺旋线、鸡蛋的椭圆形，还有兽角、鸟嘴与獠牙的曲线．他们抬头看到广阔的天空和上面流动的云彩，看到太阳和月亮，认识到周围辽阔的空间．大约3万年前完成的洞穴壁画（彩图2）证实早期人类具有记录所观察到事物的出色能力．实际上，他们向我们表明自己对所处环境有强烈的感受力，能思考所见到及所经历的，并有创作意识．他们清楚认识到自然的组织结构：蕨类植物的叶片构造、冬季里秃树的枝条图案、子房内种子的排列、鸟巢的交织形式、蜂房六角形的重复结构以及蛛网网状的排列．他们开始感受到基本形状，如图1-1和图1-2所示．当人们注意到3棵树、3只吃草的斑马、3只喳喳叫的鸟儿，3朵蘑菇和3声狮吼的共同之处时，开始有了数字的感觉．人类最早关于计数的记录已有1.5~3万年的历史．图1-3中的骨头就是一个例子． 大约1万年前发生了一次重要的转变，人们从通过采集和打猎获得食物变为种植庄稼和驯养动物．人们离开洞穴，开始建造原始住所，为了安全，他们聚集在村庄内．他们通过使用绳索和棍棒，能够画出直线和圆．人们布置生活区，但不管是圆形帐篷还是矩形棚屋，其形状和结构都学自自然．他们烤面包、造谷仓、发明轮子和轴，并制作车辆．随后贸易产生了，语言变得更复杂．当人们需要清点物品、估计距离和测量长度时，通常使用手指、双脚和步幅来计数和测量．原始陶器、编织和木工工作得到发展．这些早期的设计、建筑和造型工作培养了人类对平面和空间关系的感觉．英语里“stretch”和“straight”以及“linen”和“line”的关联为这些早期手工艺和早期几何学之间的联系提供了证据．装饰有几何图案的纺织品见图1-4．它们证明人类已更清楚地认识到次序、图案、对称及比例． 图1-1 肖维岩洞内刻画的猫头鹰，HTO摄 图1-2 基本形状 图1-3 非洲刚果民主共和国伊塞伍德一个村庄内发现的骨头，照片来自布鲁塞尔科学博物馆 图 1-4 人们把诸如危险的天气现象、狂烈的雷暴、破坏性的洪水以及火山爆发这样的强大自然图像及事件的形成均归因于超自然力．为了解释这些现象，神话及原始宗教应运而生．季节性的气候变换及植物的生命周期循环往复，与天空中正午太阳的高度相关，这就使得追踪时光流转中的天象变得重要起来．建筑物成为天文学的开端．英格兰南部的巨石阵就是一个例子．它大概起源于公元前3000年，之后的1000年甚至更晚都有所增加，其特点是巨大的石板两两相对、垂直排列，上面盖有水平的石板．石板按照一定的模式仔细摆放，围出一个直径约305米的圆环．该模式根据太阳活动排列，表明巨石阵曾被用作史前天文台，能够用于预测夏至和冬至日（分别是一年中白昼最长和最短的一天）．图1-5展示了现存的几十块石板．最大的一块重20吨．巨石阵还证明其建造者具有让人难以置信的能力，他们能够移动并改变巨石（megaliths，在希腊语中，mega意为“巨”，liths意为“石”）的形状，按照预期目标将其放置妥当． 图1-5 英格兰南部的巨石阵，Josep Renalias摄