浴缸里的惊叹——10. 违反直觉的旅客困境

某家航空公司把两个行李箱搞丢了。这两个行李箱里装的东西完全相同，但却属于A、B两名不同的旅客。航空公司派出一名经理，与这两名旅客协商赔偿事宜。经理向这两名旅客解释说，航空公司方面无法为丢失的行李箱估价，因此需要让两名旅客各自独立地写下一个2到100之间的正整数（包括2和100），表示自己对行李箱的估价，单位是元。如果这两名旅客写下的数完全相同，航空公司方面就认为这是行李箱的真实价值，并按照这个数目对两名旅客进行赔付。但是，如果其中一名旅客写下的数比另一名旅客更低，那么航空公司方面将会认为，前者的估价是真实的。航空公司将按照这个估价对两名旅客进行赔付，但报出此价的旅客会多得2元作为奖励，另一名旅客则会少得2元，作为估价过高的惩罚。举个例子：若A、B两人分别估价50元和40元，则A将会获得38元，B将会获得42元。 如果两名旅客都是绝对理性的，并且上述所有条件都已经成为这两名旅客的共识。那么，这两名旅客将会写下怎样的数呢？ 如果你是第一次听说这个问题的话，你肯定不会相信这个问题的答案：最终结果是，两个人都只估价2元。为什么呢？ 容易想到，对于这两个人来说，最好的结局便是两人都估价100元，这样一来，两个人都会得到100元钱。然而，其中一个人肯定会动一下歪脑筋：“如果对方估价100元，我估价99元，那么航空公司会认为我是诚实的，我就可以得到101元了，而对方只能得到97元。”另一个人其实也想到了这一点，因而两个人会不约而同地写下99元，其结果就是，两个人各得99元。有趣的是，如果两个人都想到了对方也会写下99元，那么每个人都会发现，把自己的估价重新提高到100元是无益的，但是把自己的估价减小到98元，会让自己的收益从99元提高到100元。结果，两个人都会把估价改为98元。总之，两个人都意识到了这一点：不管对方报多少钱，我比对方少报1元总是最佳的选择。于是，这种恶性的心理战将会一直持续下去，直到每个人都推出，自己应该把估价从3元改为2元。到了这一步，两人终于不再有争斗，于是就得到了刚才所说的答案。 这个有趣的问题最早是由印度经济学家Kaushik Basu在1994年的时候提出来的，我们把它叫做“旅客困境”（traveler's dilemma）。旅客困境和本章引言提到的囚徒困境一样，都阐述了这样一个现象：如果决策者都是绝对理性的，最终的结果有可能对大家都不利。事实上，如果把旅客困境稍微修改一下，规定两名旅客只能写下“2元”或者“3元”，那么整个博弈游戏就和囚徒困境完全一样了：都写下“3元”就都得3元，都写下“2元”就都得2元，若是一个写“3元”一个写“2元”的话，则前者只得1元，后者可以得4元；于是，每个人都会发现，不管对方写的是多少，自己把“3元”改成“2元”总会让自己多得1元。结果，两人就不约而同地写下了“2元”。这其实是一个最不好的结局。 类似的博弈现象还有很多。比方说，让10个人玩一个这样的游戏：给每个人都发100元钱，然后每个人都可以选择捐出一部分钱；筹到的捐款将会用于投资，最后将会收回双倍的钱，并且均分给所有人（即使大家出的钱不一样多）。最好的结局固然是，每个人都拿出100元，最终每个人都会得到200元。但是，理性的决策者会这么想：“如果我只出99元钱，那么用于投资的基金就只有999元，最后大家将会获得1998元的回报，每个人都会分得199.8元；但是，别忘了我手里还有1元，因此最终加在一块儿，我不就有了200.8元了吗？事实上，如果我干脆一分钱也不出，我就能坐享180元的回报，我手里将会拥有280元！”如果每个人都是绝对理性的，那么每个人都会发现，自己比别人出的少，总能让自己更赚一些。最后的结果竟然是，每个人都不愿意拿出一分钱！ 在生活当中，这样的现象也很多，比方说中小学生补课的问题。最好的情况应该是，每个学校都不补课，这既保证了公平性，又减轻了孩子的负担。然而，每个学校都会想，如果别的学校不补课，我们学校哪怕只补一个小时，我们就赚到了。当然，等到所有学校都意识到这一点后，每个学校都会争着再多补一个小时。其结果就是，每个学校都在没完没了地补课，于是就有了这样的悲惨现状。 Kaushik Basu提出的“旅客困境”，最大的价值就是把这种“理性的决策导致不可理喻的结果”这种现象放到了最大。在博弈论中，如果玩家们都做好决策并把所做的决策公之于众后，每个玩家都发现，单方面地修改自己的决策不会让自己更赚，我们就把此时众人的决策叫做一个“纳什均衡”（Nash equilibrium）。这是以美国数学家约翰•纳什（John Nash）的名字命名的，看过电影《美丽心灵》（A Beautiful Mind）的朋友应该对这个名字非常熟悉。我们往往会假设，如果某个博弈游戏存在唯一的纳什均衡，那么对于一群绝对自私并且绝对理性的玩家来说，这个纳什均衡就是最终的结局。旅客困境问题大胆地对这一观点发起了挑战。在旅客困境游戏中，“每个人都写2元”就是唯一的纳什均衡，按道理来说，这应该纯理性决策的最终结果。但是，这与人们的直觉以及现实的情况都相差太远了。2005年，Tilman Becker、Michael Carter和Jörg Naeve组织博弈论学会的成员玩了一次旅客困境游戏。这本应该是一群非常精于博弈分析的玩家，结果45个人当中只有3个人写下了“2元”。84.4%的人写下了大于等于90的数，其中写下“97元”、“98元”、“99元”、“100元”的分别有6人、9人、3人和10人；并且，所有人提交的结果两两相比之后，写下“97元”的人平均获利最多，大约为85元，写下“2元”的人平均获利则最少，只有3.9元。理论和现实的矛盾如此突出，以至于人们开始思考，纳什均衡真的能代表理性决策的结果吗？更进一步地问，究竟什么叫做“理性的决策”？ 也就是说，最终每个人都会写下“2元”，仅仅是在“纳什均衡能代表理性决策的结果”这一假设下得到的。后来，数学家们还为“理性”下了很多不同的定义，得出了很多不同的结果，有一些或许会容易让人接受。例如，2011年，Joseph Halpern和Rafael Pass就提出用“最小遗憾”（regret minimization）来作为理性决策的标准。所谓一个决策的“遗憾度”，就是知道了对方的策略实际上是什么以后，最坏情况下会有多后悔。比方说，如果我写下了“50元”，后来发现对方写的是“40元”，于是我只得到38元。那么我心里会想：“要是刚才我写的是39元就好了，这样我就可以得到41元，能比我现在多得3元。”但是，这还不是最坏的情况。最坏的情况就是，后来发现对方写的竟然是100元，于是我只得到52元。我肯定会后悔死：“要是刚才我写的是99元就好了，这样我就可以得到101元，能比我现在多得49元。”这个“49元”就是我写下“50元”之后的遗憾度。那么，在所有可能的决策中，遗憾度最小的决策是什么呢？遗憾度最小的决策有5个，分别是“96元”、“97元”、“98元”、“99元”和“100元”，可以验证，它们的遗憾度都是3。你会发现，如果把“理性的决策”定义为“使得遗憾度达到最小的决策”，结果会非常符合实际！