浴缸里的惊叹——9. 蓝眼睛岛上的故事

某座岛上有200个人，其中100个人的眼睛是蓝色的，另外100个人的眼睛是棕色的。所有人都不知道自己眼睛的颜色，也没法看到自己眼睛的颜色。他们可以通过观察别人的眼睛颜色，来推断自己的眼睛颜色；除此之外，他们之间不能有任何形式的交流。每天午夜都会有一艘渡船停在岛边，所有推出自己眼睛颜色的人都必须离开这座岛。所有人都是无限聪明的，只要他们能推出来的东西，他们一定能推出来。岛上的所有人都非常清楚地知道上面这些条件和规则。 有一天，一位大法师来到了岛上。他把岛上所有人都叫来，然后向所有人宣布了一个消息：岛上至少有一个人是蓝色的眼睛。 接下来的每一个午夜里，都会有哪些人离开这座岛？ 答案：从第1个午夜到第99个午夜，没有任何人离开这座岛；到第100个午夜，所有100个蓝眼睛将会同时离开。 为什么？大家不妨先这样想：什么情况下第一天就会有人离开这座岛？很简单。假如岛上只有一个蓝眼睛，那么当他听说岛上至少有一个蓝眼睛之后，他就知道了自己一定就是那个蓝眼睛，因为他看到的其他所有人都是棕色的眼睛。因而，当天夜里他就会离开这座岛。好了，如果岛上只有两个蓝眼睛呢？他们在第一天都无法立即推出自己是蓝眼睛，但在第二天，每个人都发现对方还在，就知道自己一定是蓝眼睛了。这是因为，每个人都会这么想：如果我不是蓝眼睛，那么对方昨天就会意识到他是蓝眼睛，对方昨天夜里就应该消失，然而今天竟然还在这儿，说明我也是蓝眼睛。最后，这两个人将会在第二天夜里一并消失。 类似地，如果岛上有三个蓝眼睛，那么每个人到了第三天都发现另外两个人还没走，便能很快推出，这一定是因为自己是蓝眼睛。所以，这三个蓝眼睛将会在第三个午夜集体离开。不断地这样推下去，最终便会得出，如果岛上有100个蓝眼睛，那么每个人都会在第100天意识到自己是蓝色的眼睛，于是他们将会在第100个午夜集体离开。 很多人都会对这段解释非常满意，然而细心的朋友却会发现一个问题：在大法师出现之前，每个人都能看见99个蓝眼睛，因此每个人都知道“岛上至少有一个人是蓝色的眼睛”这件事情。那么，大法师的出现究竟有什么用呢？这是一个很好的问题。它的答案是：大法师的行为，让“岛上至少有一个人是蓝色的眼睛”的消息成为了共识。 在生活当中，我们经常会遇到与共识有关的问题。让我们来看这么一段故事。A、B两人有事需要面谈，他们要用短信的方式约定明天的见面时间和地点。不过，两人的时间都非常宝贵，只有确信对方能够出席时，自己才会到场。A给B发短信说，“我们明天10:00在西直门地铁站见吧”。不过，短信发丢了是常有的事情。为了确信B得知了此消息，A补充了一句，“收到请回复”。B收到了之后，立即回复：“已收到，明天10:00不见不散”。不过，B也有他自己的担忧：A不是只在确认我要去了之后才会去吗？万一对方没有收到我的确认短信，届时没有到场让我白等一中午怎么办？因此B也附了一句：“收到此确认信请回复”。A收到确认信之后，自然会回复“收到确认信”。但A又产生了新的顾虑：如果B没收到我的回复，一定会担心我因为没收到他的回复而不去了，那他会不会也就因此不去了呢？为了确保B收到了回复，A也在短信末尾加上了“收到请回复”。这个过程继续下去，显然是没完没了。其结果是，A、B两人一直在确认对方的信息，但却始终无法达成这么一个共识：“我们都将在明天10:00到达西直门地铁站”。 有的人或许会说，那还不简单，A给B打个电话不就行了吗？在生活当中，这的确是上述困境的一个最佳解决办法。有意思的问题出来了：打电话和发短信有什么区别，使得两人一下就把问题给解决了？主要原因可能是，打电话是“在线”的，而发短信是“离线”的。在打电话时，每个人都能确定对方在听着，也能确定对方确定自己在听着，等等，因此两人说的任何一句话，都将会立即成为共识：不但我知道了，而且我知道你知道了，而且我知道你知道我知道了…… 大法师当众宣布“岛上至少有一个蓝眼睛”，就是让所有人都知道这一点，并且让所有人都知道所有人都知道这一点，并且像这样无限嵌套下去。这就叫做某条消息成为大家的共识。让我们来看一下，如果这个消息并没有成为共识，事情又会怎样。 为了简单起见，我们还是假定岛上只有两个蓝眼睛。这两个人都能看见对方是蓝眼睛，因而他们都知道“岛上至少有一个蓝眼睛”。但是，由于法师没有出现，因此他俩都不知道，对方是否知道“岛上有蓝眼睛”这件事。所以，到了第二天的时候，之前的推理就无法进行下去了——每个人心里都会想，对方没有离开完全有可能是因为对方不知道“岛上有蓝眼睛”这件事。 类似地，如果岛上有三个蓝眼睛，那么除非他们都知道，所有人都知道所有人都知道了“岛上有蓝眼睛”这件事，否则第三天的推理是不成立的——到了第三天，会有人觉得，那两个人没走仅仅是因为他们不知道对方也知道“岛上有蓝眼睛”这件事罢了。继续扩展到100个蓝眼睛的情形，你会发现，“互相知道”必须得嵌套100层，才能让所有推理能顺利进行下去。 实际上，我们的题目条件也是不完整的。“岛上的所有人都非常清楚地知道上面这些条件和规则”这句话应该改为“上面这些条件和规则是岛上所有人的共识”，或者说“岛上所有人都知道上面这些条件和规则，并且所有人都知道所有人都知道，等等等等”。如果没有这个条件，刚才的推理也是不成立。比方说，虽然所有人都是无限聪明的，但是如果大家不知道别人也是无限聪明的，或者大家不知道大家知道别人也是无限聪明的，推理也会因为“昨晚他没走仅仅是因为他太笨了没推出来”之类的想法而被卡住。下一章的博弈问题当中，共识的概念也会起到很大的作用。 这是一道非常经典的问题，网络漫画网站XKCD把它称作是“世界上最难的逻辑谜题”。我至少见过这个问题的四种不同的版本。John Allen Paulos的Once Upon A Number里写过一个大女子主义村的故事：村子里有50个已婚妇女，每个妇女都不知道自己的男人是否有外遇，但却可以观察到其他妇女的男人是否有外遇。规定，只要哪个妇女推出了自己的男人有外遇，当晚她就必须把自己的男人杀死。有一天，村子里来了一位女族长。女族长宣布，岛上至少有一个妇女，他的男人有外遇。实际上，每个妇女的男人都有外遇。那么最后究竟会发生什么呢？村子里的人将会度过49个平静的晚上，到第50天则会出现彻彻底底的大屠杀。 另一个与疯狗有关的版本也大致如此：村子里每个人都养了一条狗，每个人都不知道自己的狗是不是疯了，但都可以观察到别人家的狗是不是疯狗。只要推出自己的狗是疯的，当天晚上就必须用枪把它杀死。有一天，村里来了一个人，宣布了至少有一条疯狗的消息，然后前2天平安无事，第3天夜里出现了一阵枪响，问村子里实际上有多少疯狗？答案是，3条。 最后还有一个戴帽子的版本。老师给5个小孩儿每个人头上都戴了一顶黑帽子，然后告诉大家，至少有一个人头上戴着的是黑色的帽子。接下来，老师向大家提问：“知道自己戴着黑帽子的请举手”，连问四次没有反应，到了第五次则齐刷刷地举手。有的地方把“戴着黑帽子”换成“额头上点了一个墨点”，然后老师让大家推测自己额头上是否有墨点。这本质上也是一样的。