浴缸里的惊叹——5.有趣的数字序列

数字序列3, 2, 1, 1, 0, 0, 0非常有意思：整个序列里面正好有3个0、2个1、1个2、1个3、0个4、0个5和0个6。类似的例子还有吗？让我们来探究一下。 (1) 能否写出4个非负整数，使得第1个数正好表示你一共会写多少个0，第2个数正好表示你一共会写多少个1，第3个数正好表示你一共会写多少个2，第4个数正好表示你一共会写多少个3？ (2) 能否写出5个非负整数，使得第1个数正好表示你一共会写多少个0，第2个数正好表示你一共会写多少个1，第3个数正好表示你一共会写多少个2，……，第5个数正好表示你一共会写多少个4？ (3) 能否写出100个非负整数，使得第1个数正好表示你一共会写多少个0，第2个数正好表示你一共会写多少个1，第3个数正好表示你一共会写多少个2，……，第100个数正好表示你一共会写多少个99？ 更一般地，能否写出n个非负整数，使得其中第k个数正好等于这里面k-1一共出现的次数？ 很快你便会发现这个问题的棘手之处：这些数字相互关联，相互制约，可谓是牵一发而动全身。如果n不算太大，问题倒并不复杂，简单的试验和分析即可得出结论。当n等于1、2、3时，问题都是无解的。n=4时有两个解： 1, 2, 1, 0 2, 0, 2, 0 n=5时有一个解： 2, 1, 2, 0, 0 n=6时无解。 要想解决n=100时的情况，盲目尝试显然是不行的。好在，对n≥7的情况稍作考察，你会找到一类非常具有规律的解： n=7: 3, 2, 1, 1, 0, 0, 0 n=8: 4, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 0 n=9: 5, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0 n=10: 6, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0 所以，当n=100时，下面这100个数就满足要求： 96, 2, 1, 0, 0, 0, …, 0, 1, 0, 0, 0 我很喜欢这种精妙的感觉——各个部分都有机地吻合在一起，不能容忍任何一点细微的改动，仿佛沙漠当中的一块手表。它往往能给人带来巨大的惊喜和震撼。有一种英文文字游戏叫做autogram，就是精心构造一个英文句子，使得它正好符合它本身所述的内容。比如下面这个句子： This autogram contains five a's, one b, two c's, two d's, thirty-one e's, five f's, five g's, eight h's, twelve i's, one j, one k, two l's, two m's, eighteen n's, sixteen o's, one p, one q, six r's, twenty-seven s's, twenty-one t's, three u's, seven v's, eight w's, three x's, four y's, and one z. 显然，构造这样的句子非常困难。这好比是在针尖上搭建积木楼房一般，我们需要小心翼翼地调整积木的位置，寻找一个精确的平衡点。1982年，《科学美国人》（Scientific American）刊登了一个autogram杰作： Only the fool would take trouble to verify that his sentence was composed of ten a's, three b's, four c's, four d's, forty-six e's, sixteen f's, four g's, thirteen h's, fifteen i's, two k's, nine l's, four m's, twenty-five n's, twenty-four o's, five p's, sixteen r's, forty-one s's, thirty-seven t's, ten u's, eight v's, eight w's, four x's, eleven y's, twenty-seven commas, twenty-three apostrophes, seven hyphens and, last but not least, a single ! 我也尝试构造了一个汉语的autogram（这确实很不容易）： 这句话里有五个“一”、十个“两”、两个 “三”、一个“四”、两个“五”、一个“六”、一个“七”、两个“八”、一个“九”、三个“十”、两个“这”、两个“句”、两个“话”、两个“里”、两个“有”、两个“和”和十八个“个”。