浴缸里的惊叹——4. 有歧义的表盘

由于时针和分针的很多位置组合是不合法的，所以即使时钟的两针一样长，大多数时候也能读出正确的时间来。例如，两针一个指向12一个指向 6 ，那么前者只能是分针，后者只能是时针。但是，时针和分针的某些位置组合会让我们理论上不可能读出一个正确的时间，因为时针和分针的位置互换后，所指的时间仍然有意义。我们就说，这时的指针位置有歧义。我们的问题是，从0:00到12:00这12个小时中，指针位置会产生歧义的时刻有多少个？ 答案：132个。得出这个答案有很多方法，下面这个方法我觉得最为精巧。 假设有A、B两个钟叠放在一起，A以正常的速度运转，B以12倍的速度运转。 因此，B的时针将永远与A的分针重合。每当B的分针与A的时针重合时，A此时所指的时刻就是有歧义的。而B的分针比A的时针快144倍，因此A的时针转了一圈后，B的分针转了144圈，这说明从0:00到12:00这段时间里（包括0:00和12:00这两个时刻），B的分针与A的时针一共重合了144次，因而也就发生了144次歧义。 但是，为什么答案是132呢？这是因为，在这144次歧义当中，有12次是同一个钟的时针和分针本身就重合的，这实际上不会导致歧义，因此真正会导致歧义的有144-12=132个时刻。