浴缸里的惊叹——1. 8个两两接触的四面体

下图所示的是空间中的4个两两相接触的四面体。怎样在空间中放置8个两两相邻的四面体？这里我们规定，只有一个点或者一条棱相接触的不算接触。 首先，在平面上画4个两两相邻的三角形，如图(1)所示。在这个平面的正上方添加一个顶点，与各个三角形的各个顶点相连，于是得到4个等高的四面体，如图(2)所示。容易看出，这一组四面体已经是两两接触的了。现在，再准备另一组完全相同的四面体，把这两组四面体的底面合在一起，像图(3)那样稍稍错开，最后得到图(4)那样的构造。这样一来，每一组里的每一个四面体也都会和另一组里的所有四面体都相接触，于是这8个四面体便两两接触了。 是否存在9个两两接触的四面体呢？这是一个非常困难的问题。1991年，Joseph Zaks用了100多页的篇幅，终于证明了9个两两接触的四面体是不存在的。 在构造这8个四面体的过程中，我们发现了一个隐含的模式：二维空间中存在4个两两相邻的三角形，三维空间中存在8个两两相邻的四面体，而且后者是以前者为基础扩展得来的。事实上，我们可以继续扩展下去，从而得出：在d维空间中，存在2^d个两两接触的d维单纯形。但是，在d维空间中，是否最多只能有2^d个两两接触的d维单纯形呢？人们猜测应该是这样，但目前还不能证明。