玩不够的数学——无穷与不可能

在一幅图画中展现无穷的不可能图形，看起来可能有些无聊。然而，这却能产生令人困惑的图像，让眼睛面临艰巨的考验。 如果物质世界里不存在无穷，既没有无穷大也没有无穷小，那么任何的无穷图形都将不存在。两条铁轨在地平线相交的景象，“科赫雪花”在任意尺度截取的轮廓，只会是近似描绘现实世界中缺失的数学无穷结构——对无穷的任何图形描述都会是幻想。 然而，物理学与宇宙学都没能确定地回答无穷是否实际存在。这个问题或许压根就不属于科学领域。若我们假设无穷在物理上是存在的，比如，因为空间本身并不是有界的或者封闭的（与球体表面相反），那么两条平行铁轨在无穷远相交便是可能发生的情景。 目前，我们仍然对最终的物质现实和物理上的无穷一无所知，因此，数学无穷结构的表现形式算不上荒谬。于是，我们可以放手设计一些抽象物体，它们除了具有无穷的属性，还因自身结构而成为不可能。看到这儿，无穷似乎是一个无缘无故的数学游戏。然而近来，若干研究贡献使无穷不可能这门艺术变得更加有趣。这才是本章的主题。 最初，创造无穷不可能图形需要从有限不可能图形开始，例如潘洛斯三角形（不在同一平面的三条边看起来相连，构成一个不可能三角形），将其各部分相连，并规律地填满纸面上的空间，赋予图画表面上的一致性。 不可能图形的无限重复 根据特定的不可能三角形图形，我们可以演化出多种无穷不可能的排列方式。工程师兼 艺术家乔斯•莱思就创作了众多精美的版本（参见图1）。 每一幅图像都让人困扰，惊人程度远远超过了基础结构中的不可能图形。请看“乔斯•莱思的无穷不可能图形”图b，我们的第一印象是， 这是一张无限的三维网络，好似空心立方体堆砌而成，图形填满了三维空间。然而，我们很快发现图像整体存在严重的违和感，这下有些令人不舒服。在图像试图展示的假想空间中，每一个角落都充斥着不一致。随着对图画的观察，我们意识到，图画到处是谬误和无穷的自相矛盾。 乔斯•莱思将矛盾阶梯图样在单一的方向上平移，得到另一幅无穷不可能图形，这幅画略简单一些。阶梯设计将两个样本头对头放置，完美相接后，最终得到一个无穷阶梯。人们沿着阶梯下降的方向却总是越走越高（参见“要上去，只需向下走”）！我们在乔斯•莱思的网站上可以找到他创作的此类图像：http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=232。 长期以来，我们注意到只有在一定条件下，潘洛斯三角形或疯狂阶梯才是不可能的，即人眼将可见的直线理解为实际的直线，并且用最简单的方式理解组成部分之间的相对位置。 众多互联网网站都提供了奇妙的视觉骗局装置，试图实现几何上的不可能图形。有时，图形构造方式需要通过计算机模型加以描述和表达（参见《不可能！你确信吗？》）。 图 　Escher 方式的永恒运动 人们甚至还录制了一些相关短片，其中最特别的就是荷兰艺术家莫里茨•埃舍尔著名版画《瀑布》的实物展示影片，如同永恒运动的运转方式， 不禁让人信以为真（ 参见https://www.youtube.com/watch?v=0v2xnl6LwJE）。 两位艺术家曾将这些荒谬的几何游戏应用在大型雕塑上——他们竟然能卖得出去，还成功地安放在公共场所。其中，离荷兰马斯特里赫特不远处的比利时村庄奥否汶矗立着一座比利时艺术家马修•哈梅克斯的雕塑作品，就采用了扭转的方法：潘洛斯三角形的三边不再是直的，但透视法造成了幻觉，使人眼看到恰恰相反的景象。 另一个三角形大型创作位于澳大利亚珀斯市，是布莱恩•麦克凯和阿马德•阿巴斯在1999 年创作的作品。该作品采用断裂的方法：在特定角度，人眼将实际不相连的部分视为相连，认定看到了不可能雕塑。“无穷不可能”是否可能？ 我们可能会问：乔斯•莱思提出的无穷图样到底是怎么回事儿。能不能设计一些“真正 ”会占据整个空间的三维物体，当从特定视角观察时，会产生无穷不可能图形？ 图 我虽然不知道针对每一种三维物体的答案，但是，将某些物体转化成自相矛盾的无穷几何图形，还是很容易的。 以“乔斯•莱思的无穷不可能图形”图c 为例，它是由一组7 个立方体（即6 个立方体围着一个中心立方体）在无穷次重复后组合而成的。单看这7 个立方体并没有什么矛盾，多个7 个立方体组的相对摆放位置才使图形在表面上产生了不合逻辑之处。为了形成这样的排列，只需让每一组东南方向和西南方向的两个立方体在实际上呈L 形，即将立方体分解成“无穷不可能图形变成可能”右图中的样子。 另一个将无穷不可能图形变成现实的例子：请看一条由方形环按直线排列而成的无限链条（参见“无穷不可能图形变成可能”右图）。为了在空间内展示这条无穷的矛盾链条，可在每一枚方形环的适当位置截去一段，就会产生方形环后方的边穿过环到达前面的错觉。 里尔大学的弗朗塞斯科• 德柯米特将这个想法变成了动画（这次采用圆锥透视法，而非散点透视法），可以在网页上看到：http://www.flickr.com/photos/fdecomite/sets/72157626054113902/。 图 不可能的分形图 一个图形若能变为无穷，可能是因为它（有潜力）凭借自身的重复性结构而无限延伸，说得专业一点，因其在一个或两个方向上具有平移不变性。两千多年里，几何学已使我们习惯了这种无穷大。但除此之外，另一种几何无穷也已显现，那就是无穷分形图。 伯努瓦•曼德勃罗（1924—2010）在1974 年创造的这个概念泛指任何可被无穷切割或分裂的图形或物体。这些结构通常具有内部的对称性——我们可以在其自身内部找到它们的整体形状，只不过更小一些，就像俄罗斯套娃。说得专业一点，它们具有位似不变性。 其实，分形最早出现在一个多世纪以前，数学家们试图阐明连续统（即几何直线）的精细结构。康托尔在1870 年左右发现了今天所称的“康托尔三分点集”或“康托尔尘”：取一条线段，去掉中间三分之一，剩下两条线段，再去掉它们各自中间三分之一，剩下四条线段，以此类推。 人们曾认为拓扑异常是不可能实现的，但皮亚诺曲线（1890）及科赫雪花（1905）却将拓扑异常可视化，如：遍历实心正方形上每一个点的曲线、没有切线的曲线、能够限定一个有界面的无穷长度曲线，等等。 图 在经典几何学里，我们把物理空间看作实数对的集合（对于平面）或实数三元组的集合（对于空间）。这种构想不但实用，而且能帮助我们理解连续、速度、加速度、连通性等概念。 然而，量子物理学，以及在实践中无法深入探究无穷小的问题，使人们对基于实数建立的空间模型的有效性产生了怀疑——分形几何中无限分割的物体有着无限的精细度，因此，它们或许只是理论上的错觉。我们暂不考虑这个异议，仅承认经典空间模型与实际物理世界的模型相符，而且，分形在物理上也是可能的。 那么，难道就不存在有界尺寸的无穷不可能物体吗？ 无穷不可能结构将不再像乔斯•莱思的图像那样源自无限延伸的特性（纸张只能勉强呈现部分图像），而是源自其矛盾结构的无限精细度。 伦敦帝国学院的卡梅隆•布朗借助计算机程序得到的若干图像，为这一问题找到了肯定的答案。在这些生成图像中，他将分形及位似不变性物体的无穷分割与潘洛斯三角形一类图形的不可能性结合了起来。 以下展示了科赫雪花的构造过程，一个内部完全是空的，另一个具有内部支撑杆。布朗在每一步构造中所用的图样都是一幅不可能图形。此系列中的有限图形就是不可能图像一步步积累而成的分形图。 图 有趣的是，图画的极限不是别的，就是雪花本身（或具有内部轮廓的变体）。一系列不可能图像由此诞生，而且可能拥有极限。随着无穷不可能的不断积累，荒诞之处也消失不见，如同在接近极限的过程中被吞噬。两头或三头叉子，以及“恶魔音叉”都是不可能图形的代表图案。卡梅隆•布朗借此采用“康托尔尘”设计了多个无穷版本（参见“卡梅隆•布朗”中的图a）。 康托尔的不可能叉子 这一次，极限图形每一步构造中的不可能性并没有被画出来，但我们却不难想象。其实，随着我们远离实心部分（上面），物体的截面变得越来越镂空：去掉中间的三分之一，再分别去掉剩下两部分中间的三分之一，如此重复。然而，物体最下端（下面）却又被填满了。由此，我们知道在接近极限的过程中，分形图可以保持不可能性。 “卡梅隆•布朗”中图b 的图形源于皮亚诺曲线。布朗将创作不可能图形的经典过程用于构想皮亚诺曲线，又一次绘制出可能存在极限的不可能图形。 图 图 但图c 中的极限图形依然存在不可能性。这两个图形都是真正的分形图：它们具有非整数的维度。正如布朗所说，这些图画在任何尺度都是不可能图形。潘洛斯三角形的每个部分皆可能实现（无需任何技巧）。相反，图c 中的图形即便在十分接近顶部时依然保持着几何不可能性，即在任何放大级别都保留着不可能性。 对经典不可能图形的分析指出：如果将图形分割为有限数量区域的集合，我们得到的每一个区域都呈现为一个可能实现的物体。针对乔斯•莱思提出的不可能图形，若找不到如“无穷不可能图形变成可能”所示的方法，则需要分割出无穷个区域。每个区域的面积则要大于一个对整幅图画都适用的常数。对布朗的最后两幅图画，这种“可能区域”分割方法需要无穷个区域来实现。而且，当接近最大边界时，无穷区域的直径趋于0，而最大边界的分形维度大于1。这一精彩的设想会引出一个新问题：能否设计一些更疯狂的图像，让不可能性在平面上的一个二维区域内累加？ 希望读者为我们提供其他无穷不可能的构图。我有一个建议：结合门格海绵与不可能立方体，肯定会缔造一个相当别致的矛盾结构。