玩不够的数学——不可能！你确信吗？

人们往往从悖论中获得思维的乐趣，而几何学的悖论就是不可能图形。如今我们已创造出数千种这样的二维图像，不断挑战我们的眼睛和思维。三角形、披萨饼、七巧板也蕴藏着无穷的变化和巧妙的发现。 不可能！你确信吗？ 人们从透视错觉得来灵感，创造了神秘的“不可能图形”。人类的视觉系统让我们觉得这样的图形很奇怪。然而这些图形确实是可行的，并为我们带来双重乐趣——先是惊奇，然后理解。 亚历山大•马赛，1829 年生于法国坎佩尔。他在1872 年发明了四眼纽扣的系衣服方法。相比其前身两眼纽扣，这个极其简单的物件具备不会因旋转而滑动的优点。四眼纽扣曾让其天才发明者变得富有，如今仍以数千亿的数量出现在一半以上的服装上。你也一定拥有几件配有四眼纽扣的衣服。然而，四眼纽扣也许应当早1000 年就出现，甚至在古代就该问世。想象一下颇为有趣：伟大的亚里士多德或许忽略了这枚纽扣的存在，而他的生活质量本可以因此改善。 自行车、四色定理、整数和一条直线上的点之间双射的不可能性、康威生命游戏、便利贴、不可能图形，都是近来一些颇为简单的创意。很难解释它们为何这么晚才闪现在人类的脑海中。这些发现让人不禁自问，我们今天是不是也对身旁的一些想法视而不见——而我们的后代也许会对我们的盲目难以理解。 罗特斯维尔德，别无他人！ 不可能图形及其无穷的变化带我们从心理学迈入奇幻艺术与数学的世界，最终来到计算机图形学领域。最近的一些研究成果既展示了人们对不可能图形更深入的理解，也暴露出我们思维的欠缺。 仔细找找，我们会在古代绘画和版画中发现不可能物体的蛛丝马迹（参见“不可能图形的先驱”）。然而，我们并不确定作者是否刻意留下这样的踪迹，还是 仅仅出于对透视法则的无知、粗心或者错用。在威廉•贺加斯的版画或马塞尔•杜尚的不可能床中，图画是刻意为之，但离纯粹的构思还相去甚远，并且没有一个早期不可能图画脱离了现实世界。画中错乱的现实世界，似乎是制造错觉不可或缺的源泉。 图 瑞典人奥斯卡•罗特斯维尔德（1915—2002）是不可能图形无可争议的发明人。1934 年，年轻的奥斯卡在拉丁文课上百无聊赖。不知不觉间，他开始画出了像图A 中那样摆放、位置不合常理的9 个立方体。9 个立方体连起来，就有了图B 中著名的“不可能三角形”。不可能图形就是这样诞生的。当他意识到自己画了什么后，奥斯卡•罗特斯维尔德将毕生都投入到研究透视悖论的问题中。 20 年之后，数学家罗杰•潘洛斯和他的父亲里昂内•潘洛斯重新发明的不可能三角形出现在《英国心理学期刊》（British Journal ofPsychology）上的一篇科学文章中。今天，它被“不公正地”称为潘洛斯三角形，并有数不清的变化形式。 奥斯卡•罗特斯维尔德发明并且画了数百个不可能图形，为此，他的祖国瑞典在1982 发行了一套印着其数百幅作品的邮票（见左图）以示纪念。莫里茨•科内利斯•埃舍尔用美妙的版画为这些令人困扰的几何物体带来巨大声誉，并首次将其置于复杂的图形创作中，彰显其魔幻般的美。 如今，其他艺术家继续着不可能图形和透视错觉的游戏，创造了引人思考的作品，个中玄妙力量可谓妙趣横生，令人啧啧称奇。其中最巧妙的艺术家包括我们认为堪称第一的桑德罗•德尔普雷特，以及冈萨尔维斯、尤斯•德梅、布拉多、莫莱蒂、恩斯特、福田繁雄、哈梅克斯、谢帕德、奥洛斯。 自1934 年以来，悖论图形爱好者发明了各种令人难以置信的不可能物体，除此以外，数百篇针对不可能物体的文章也探讨了众多问题。这些让人称叹的小小图画引出了数不清的谜题，相关最新研究改变着人类对空间认知的理解，这至今仍是个挑战。 不可能图形的定义 乍一看，一幅不可能图形所展现的好像是人们习以为常的三维物体。但仔细端详，便能看出其中的不可能性：任何对整幅图形的逻辑解释似乎都无法成立。不可能图形为我们的视觉系统设下了陷阱。 陷阱通常是这样的：图形的每一部分立即被我们的大脑理解为一个三维物体，只有从一部分看到另一部分，试图从整体协调不同部分时，图形中自相矛盾的地方才会显现。不同的图形有不同的矛盾之处： 两个远近不同的平面，本不该相交却相交了； 物体中的某一个平面，从不同角度观察，可以被认为是在上面或者在下面； 图画中的某一个区域，结合图画中不同部分，可以看成是空的或者满的； 两个平面相交的角，可以是“凹陷”或者“凸起”等。同样令人惊讶的是，一切所谓的“不可能”图形都是可能的。为了证明这一点，我们提出一般性定理（参见“如何让它们变得可能？”），或者做出一些三维物体并对其拍照，以产生想要的图像。“一些不可能图形”中就有一系列例子。观察者认为来自图形本身的矛盾，其实源自思维所做出的简单假设，而这些假设又将思维带进了理解上的死胡同。 图 图 ３图 在大多数情况下，这些假设，例如“物体的限定面一定是平的”或“ 在图画中看起来是直的，在空间中就一定是一条直线”，可以使人快速并正确地理解现实世界的图像。但在观察不可能图形时，这些假设会引起大脑对面积和体积相对布局的想象，反而使图画的各部分之间无法匹配。被蒙蔽的视觉系统难以摆脱自己设下的局部理解，种种疑惑就会令视觉系统得出看似矛盾的结论。于是，思维开始原地打转，徒劳地寻找着对图像的整体理解——合理的阐释虽然存在，却永远找不到。 不可能图形的实物化 长久以来，悖论图形的照片层出不穷。一开始，人们只能做出不可能图形的初级实物化作品，后来才令其愈加复杂。福田繁雄早在1982年就做出了埃舍尔版画《观景楼》的木头和塑料版本。 福田繁雄在1985 还实现了埃舍尔的作品《瀑布》。此作之后又被乐高积木爱好者安德鲁•利普森做成了乐高积木版本（http://www.andrewlipson.com/lego.htm），天才发明家詹姆斯•戴森又设法用真的水实现了一个模拟此作的喷泉，好像水可以不尽流淌（http://news.bbc.co.uk/1/hi/uk/3046791.stm）。 不可能三角形能够阐述明显矛盾的机理，并加以解释，这就需要做出一个实物，使其从合适角度看时呈现不可能图形。让我们来观察不可能三角形的两个角，遮住第三个（如图所示）。 图 人们一定将该图形理解为三根横截面为正方形的长条A、B 和C 两两垂直相交，在空间中构成折线形。当然，如果这样理解，长条A 和C 并不相连。于是，当A 和C 的连接突然出现在完整的图画上时，视觉系统就判定这是不可能的。似乎三角形的任意两角总是可以相吻合，但三个角却不行。 不过，至少有三种方法可以让我们在空间中构造出一个图中三角形这样的物体。 (a) 第一种方法旨在不遵循我们视觉系统中的潜在假设：物体的限定面一定是平的。葛森•埃尔伯的摄影作品（http://www.cs.technion.ac.il/~gershon/EscherForReal/）实际的几何形体从适当的角度(A1) 拍摄便可准确地与矛盾的三角形相吻合。当然，我们从另一角度(B1) 就能看出端倪：真实物体的各个面实际上是复杂表面，而非某一平面的片段。 (b) 第二种方法旨在不遵循潜在的假设：“在图画中看起来是直的，在空间中就一定是一条直线(A2 , B2)。” (c) 在让不可能图形变为可能的方法中，最有效的办法就是让实际物体两个不同的线段重合。我们的视觉系统假设看到的每一条线段都代表着三维物体的唯一线段S，于是，把物体在实际中并不相连的部分看成是相互连接的(A3 , B3)。 图 找出视觉系统所做的潜在假设，是实现人工视觉系统的关键。1972年发明并在1975 年发表的Waltz 算法，如今是人工智能技术的必修课。该算法致力于以三维图景展现仅由直线段组成的轮廓图画。 Waltz 算法成立的条件是：图画所表现的物体不超出图画界限；相交于同一个点的线不多于三条；图画所表现的是多面体，是由平面和直棱边构成的。 应用在不可能物体上，会出现两种情况： Waltz 算法找不出任何三维的解释，在某种程度上，这意味着它找到了一个不可能图形（在其自己的假设条件下）； 或者，该算法也像人类一样被蒙蔽，并给出一种解释，但仔细观察后发现，这种解释从整体上看并不成立。 图 例如，Waltz 算法可以检测到图中台阶的不可能性，却对不可能三角形无能为力。 自1972 年以来，人们对该算法不断加以完善；或者说，让它不断复杂化，以提高算法理解轮廓图画的能力，并弱化我们强加给它的视觉假设。然而直到今天，没有任何计算机程序能够得出完全令人满意的结果。三位计算机视觉专家——瓦利、马丁和铃木在一篇对该课题30 年研究成果的总结性文章中写下如下结论： “计算机是否能理解轮廓图画？在一定程度上，答案是肯定的，但计算机离拥有与人类思维等同的能力还有很大距离。通过不断改进方法，计算机程序能够恰当地理解越来越多的情况。但是，人类分析轮廓图形的能力因素仍未被集成到程序中，原因很简单，这些因素尚未被理解和发现。” 我们注意到，某些视觉失认症可导致患者无法辨别不可能图形。这些图形对他们来说并无矛盾之处。不是因为患者能找到复杂的理解方法，而是他们的视觉系统失去了察觉各部分之间不一致性的能力。可以说，我们的计算机已达到了这些视觉失认者的程度，但尚未达到健全人的水平。 一些数学方法试图描述这些矛盾图形的特征：罗杰•潘洛斯提出应用“上同调”的概念，而柯琳•瑟夫则提出用“辫子理论”的概念。这些方法似乎都不如Waltz 算法及其变体强大。Waltz 算法及其变体是基于对一幅图画中2 个或3 个线段及其延伸线之间各种可能的连接类型的枚举。 设计三维陷阱 我们在试图实现等同于人类三维分析能力的算法过程中，遇到了不少困难，这源于大脑一项微妙的技巧：善于采用假设（因为这些假设通常带来正确结果），并在必要时禁用。面对所谓的不可能图形——正如我们刚说过，从来没有完全不可能的情况，计算机正是因为不具备这样的假设技巧（尚未被发现）而遇到了困难！一幅简单的图像也能难住计算机，因为可能存在好几种正确的理解。像我们视觉系统那样仅仅采取最有可能的一种理解 ，恰恰是一件极其难处理的任务。 图 如果设计一个三维物体，使其从特定角度看呈二维图像，并且该物体有可能属于不可能图形。这里，拥有严苛逻辑的计算机能派上大用场。 吉列尔莫•萨夫朗斯基、丹•迪莫尔曼和克雷格•葛慈曼在1999年提出了一般理论，用 以设计表面看来是不可能图形的三维物体。在计算机程序的辅助下，该理论已被系统地应用在一系列著名不可能图形的创作上，并复制出莫里茨•埃舍尔、桑德罗•德尔普雷特、奥洛斯和尤斯•德梅等人复杂作品的三维模型。 图 图 所有物体都有一个特点：只有从唯一一个特殊角度，并用一只眼睛观看时，它们才会造成自相矛盾的效果。于是，就产生两个问题：是否可以设计对双目视觉有效的视觉陷阱，即通过一对立体图像能否让矛盾物体产生立体感（例如不可能三角形）？是否可以设计能够旋转，并继续产生矛盾图像的视觉陷阱？这两个问题的答案都是肯定的。 一方面，唐纳德•希玛尼可早在1998 年就成功制出对应不可能三角形的不同立体视觉图像。人们观察这幅图像时，会感觉看到了具有立体感的不可能图像。另一方面，契•柯和彼得•克韦希也成功针对一些具有对称中心的矛盾物体创作了图形动画。物体自身可以旋转（假设物体是多面体，且每一刻都保持其矛盾性）。但是，物体只能被连续形变。我们可以在http://www.csse.uwa.edu.au/~pk/Impossible/impossible.html 欣赏这样的动画。 矛盾，是刺激数学逻辑推理的动力。同样，图形矛盾除了周身萦绕的神秘色彩及其带给人们的视觉乐趣之外，对于只能用双眼视觉系统看到两幅二维图像，并希望以此来探求和认知三维世界的人来说，在很长的时间内，这一矛盾都会不断地焕发思考与研究的热情。