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我已经指出抽象的思考和想象力是一对竞争对手,为什么一个繁荣起来必然会以另一个的牺牲为代价呢?无论你把时间向前推多少年，计数和命名都一直是孪生的,在荷马(Homer)的航海日志中,计数和命名被这样写道: ……这对孪生兄弟生活在海瑞亚（Hyria）和多石的奥立斯（Aulis）, 在伊泰恩瑙斯（Eteonos）幽深的山谷中，游荡在斯靠亦瑙斯（Schoinos）和斯靠劳斯（Skolos），在广阔的米凯莱扫斯（Mikalessos）上玩耍…… 甚至在表达思维的这两种行为时(计数,命名),我们的话语也可以是平行的:我们在讲故事的同时在数念珠,计算帐目的时候讲述我们过去的传奇。 从简单的数数到在大量的数据间寻找关系,数学就这样慢慢的发展着,我们还确信这种发展一定从我们给数字起名这一类似打包的行为中得到了益处,我们让每一个名字尽可能的含有特别的意义,听到它的发音就能让我们知道和想象到它的含义。接着,连接这些起了名的数字,就可以建立起来一种全新的表达体系,这种表达体系将给我们带来全新的空间,而不是原先的狭小空间。 问题是,为了更加关注这种关系,我们就必须把我们所要连接的事物简化为单纯的一点——然后使这些连接符号化,这就将使这种表达体系继续扩展。任何过于扩大节点的行为都将使这种连接陷入崩溃。不要在过去的旧体系中犹豫不前,必须跳入到新的表达体系中去。这种递归的抽象方法在推动数学发展中是一个非常重要的要素,把你刚才看到的美景省略掉它的细节,保留它主要的东西才能使看到风景在你的大脑中留下更深的印象。歌德（Goethe）把数学家和法国人放在一起比较时有一点惊异。“无论你告诉他们什么”,他说,”他们都会把你说的东西转化为他们自己的数学语言,并且所有的东西立马就变得完全不同了。” 他们在清楚的说明这种关系中的关系时,存在第一层关系的数字有一种幽灵似的东西存在,难以理解。他们相当小心的开始这种思考:如果碗中有七个苹果,确切一点说,,“七”是属于谁呢?显然,不属于你拿起来的任何一个苹果(甚至也不属于你最后数到的那个苹果,因为你可以用不同的排列来数数)；当然也不属于那个盛放它们的碗,但是那里确实存在七个苹果。很多聪明的人都被这个问题困惑。一些人说七是一组,任何包含七个事物的组都可称为七。如果你吃掉一个苹果,那么七跑到了哪里?这么假定,虽然有一个脱离了组,但对于这些组来说他们依然应有七个成员。 这种情况对于零来说更难理解。零的名字属于一物体,但是零又不属于任何事物。它表示那里的全部物体是什么也没有。基于这层含义, 零一定存在于每一个地方:举个例子,可以想象有零个蜂鸟(美洲产)在那个盛放了七个---或者现在是六个---苹果的碗里面。那么,零命名了什么呢?看起来好像是一个更小版本的格特鲁德•斯坦（Gertrude Stein）的奥克兰（Oakland，地名），没有任何东西在那里。 “我可以从浩瀚的知识中总结出主要精神”,莎士比亚（Shakespeare）的作品《亨利IV》中的欧文（Owen）这么说。 “ 为什么我能做到这些,其他人也能做到这些呢? ” 号特斯帕（Hotspur）回答道：“但是,当你想要得出主要精神的时候,他们就一定会浮现让你抓到吗?”我们可以通过给数字起名字来领会数字的主要含义,但是他们依然是那么难以捉摸,细小的零让他们跳着舞走开。 跟随着跳舞的步伐，沿着公元前326年亚历山大国王的入侵路线,零传入了印度,随后从亚历山大港出发的商业路线使希腊人获得了巴比伦人的礼物----零。假想我们进入了一个神话传说中的国家,在那里时空被惊人的拉长,数字也是惊人的巨大,所有的这些都是很平常的事。足有四码宽的蚂蚁队列川流不息的通过因陀罗(Indra印度神话中印度教的主神, 司雷雨及战争——译者注)宫殿的地面。“它们是干什么呢?”他惊讶地问站在他面前的一个十岁朝圣者。这个孩子说:“每一个人都曾经是一个因陀罗,这些因陀罗们统治着无数个宇宙,这些无数的宇宙就象一个个精致的小船,一个挨着一个飘浮在这个无边无际的空间中；每一个因陀罗可以活71世，在婆罗门（Brahma，婆罗门创世主，主要被想象成包括护持神毗湿奴和湿婆神在内，构成的三位主神的其中一成员，印度教也称作梵天,宇宙最高的永恒的实体或精神 ——译者注）中的一天一夜是因陀罗中的28个轮回，它是由108年这样的日日夜夜组成的。婆罗门出生前和死后都有另外的一个婆罗门存在，婆罗门是没有终止的。 但是,对于那些缺乏想象力的人,我们必须放弃来让他们想象这些故事或者他们前辈的生活情景。当一些事情发生的时候,用浪漫诗意的态度来看待这些事件是比我们普通的思维要好的,利用这种浪漫的思维,通过这些事件我们可以把那个久远时代的事情连起来成为一个模糊的编年史。《苏雅·斯德班特》（ ）的最早版本是印度关于天文学的第一部重要著作,这本书中甚至宣称该书中展示的工作比该书出现的时间早2 163 500年(可是这个错误没有被及时的修订,成了无神论者克里斯多佛•马洛(Christopher Marlowe)的借口,他指出这本书中说的年代比亚当的诞生还要早)。 《方广大庄严经》（Lalitavistara）是比阿基米德晚了至少300年的一本书,其中有一个非常吸引人的故事,我们是否可以说阿基米德的《沙粒计算表》和他的计算方法影响了这个故事呢?佛陀(Buddha佛陀,印度神秘主义者和佛教创始人,他在35岁大彻大悟后开始传教 ——译者注。)展示了他自己作为一个年轻人，为了获得戈帕(Gopa)之手,在竞争中，他轻易的在摔跤、箭术、赛跑、游泳和书写中战胜了对手。接下来是数学测验:他必须为超过一个抠悌（koti，10个百万,也就是107 )的数字命名等级,每一个等级应该是前一级的100倍。乔笞摩（Gautama，释迦牟尼的姓，也就是佛陀Buddha）的回答是:阿与他 (ayuta)、尼与他（niyuta）、坎珂日（kankara）、卫卫日(vivara)、阿科币亚(achobya)、卫瓦哈(vivaha)、尤三伽(utsanga)、吧呼拉(bahula)、那嘎巴拉(nagabala)、提提拉麻哈(titilamabha)、亚外三阿普日纳普提 (vyavaithanaprajnapti也就是1031)，接下来是迷人的巨大数字萨马普塔拉麻哈（samaptalambha,1037），感到绕口的卫叁德纳嘎提（visandjnagati,1047）到最后的塔拉克坎纳（tallakchana,107+46=1053）。 但是这毕竟不是最后,正如阿基米德的表达方法,这仅仅是第一级的数。第二级的数是第一级的数的最后一个数到107+2×46=1099之间的数。最终第九级的数使他达到了107+9×46=10421(这使站在他旁边的穿着长袍戴着饰品的侍臣大吃一惊)。 为了获得额外的成绩,他为一个尧觉纳（yojana，大约三英里)内的所有原子(它的原子概念不是现代意义上的原子概念---译者注)命名:七个最小的原子组成一个很小的尘埃,7个很小的尘埃组成一个小尘埃,七个这样的小尘埃组成一个你可以在阳光下看到的微尘,七个这样的微尘组成一个兔子微粒,七个兔子微粒组成一个小牧羊微粒,七个小牧羊微粒组成一个公牛微粒,七个公牛微粒组成一个罂粟种子！听起来很熟悉？通过以七为单位最终达到了芥菜种子的大小,大麦种子和手指关节的大小,十二个手指关节是一扎(伸开手掌,拇指尖到中指尖可达到的最大距离)，二扎是一个腕尺的长度（自肘至中指尖的距离），四个腕尺的长度是一弓的长度(伸开双臂,两中指尖间的最大距离)；一千个弓的长度是摩揭陀（Magodha陀印度东北部的一个古国）国一个坷枘 (cry,两个人呼喊可以听到的距离，在摩揭陀有一定的标准)的长度，四个这样坷枘的长度就是一个尧觉纳----或者说在这个长度内总共有384000× 107个原子 (他继续这样做下去,表示了地球所有陆地上的原子数量,甚至表示了宇宙中三百万个地球中可以含的原子数,由于某种原因,他们的宇宙概念变小了)。 乔笞摩的奖赏不仅仅是戈帕(Gopa)之手,而且还有所有学生都梦想的场面:考官自己躺在这些年轻人的面前并且宣布:“你是著名的数学家!而我不是!” 旅行者的故事一定有一个寓意,好的故事有三个寓意。这个故事的一个寓意就是,以你自己的方式组建一个大得有点荒谬的数字,这不仅仅可以发展你的创造力,而且可以是一个赢的尊敬的传达媒介——以这种方式向世人说:“这个时代,地球上有巨人存在。”背诵这些冗长的数字名字（阿与他、尼与他……）使你有一种巨大的不可见的力量，赋予你讲述神奇魔法的力量。如果这些名字混淆了怎么办？阿与他(ayuta) 和尼与他（niyuta）在这里是109和1011,而在其它地方则表示104和105；如果在其它的计算方法中三个不可见的原子组成一个微尘。八个这样的微尘组成一个罂粟种子(或者如其他学者那样,根本不用罂粟的种子,说是一个虱子的卵。)这又该怎么办呢?兔子微粒,小牧羊微粒,公牛微粒的确切含义又是什么呢?微粒的尺寸相互引起混乱? 巴别塔（Babel，在《旧约全书》中希纳的一个城市（现在被认为是巴比伦），当建筑者们不能理解彼此之间的语言时，通天塔建筑被迫中断了——译者注）遭受了同样的痛苦。以各种不同的形式和发音来为数字命名会激起一种魔力,这种魔力是用零排起来的数字所不能有的。 第二个意义存在于佛陀的评论中：“除了我和那些像我一样看到了最终结果的人,生活在房间以外的人是不可能知道这个计算的……这是计算的终点。超过它的东西是无法计算的。”换句话说:数字是不可能超过存在的事物的数量的。因此,对于这个故事中的讲述者和听众来说,数字是和物体紧密联系着的。——这个故事对我们更重要的是依然没有一个完整的以位置来表达数字的符号系统(如果有,我们看到的将是数字计算不会结束，因为我们可以通过最后一个数字乘以10来获得更大的数字)。 第三个意义是最重要的,那就是在这个时代,希腊文化对印度文化的影响是显而易见的。在阿基米德的计算系统中出现的罂粟种子和这里的罂粟种子不可能是一个巧合；即使你忽略这一点你又如何解释这两个计算方法的相似呢?事实上,如果你随意看一下印度的占星学,天文学,或者数学,你都将看到希腊文化的踪迹:与印度教有关的黄道带符号和天文学术语的名字都是来自希腊的借用语(“Kendra” 来源于 kentron center，举个例子，“lipta”来源于 lepton，用来表示分钟)；他们书写分数的方法与希腊人一样特殊——不写分数线。更进一步的最好的证据是结构上的,例如，印度人的行星运动论(大约公元400年)是希腊天体学本轮(epicyclic)的一种。让我们再看一个最无法掩饰的错误事实:在印度教早期的天文学中,最长的一天和最短的一天的比值是3:2——这个比值除了在印度最北的纬度地方是正确外,在其它地方是完全错误的,而这个比值对巴比伦来说是正确的,后来被希腊人引用。从《苏雅·斯德班特》中可以看出印度的天文学和数学都与希腊文化或多或少有点联系,显然是由森（Sun）在公元前2 163 102年传授给了一个名叫马雅•阿苏（Maya Asura）的绅士。森（Sun）指导他“进入若玛克人的城市(Romaka-city),你自己的住处。在那里，作为一个粗鲁的人，你将获得重生 (感谢佛陀的咒语),我将传授给你天文科学知识。”若玛克：也就是罗马人，用来指代罗马帝国或者拜占庭帝国（也就是东罗马帝国）中的希腊人；粗鲁的人：也是指希腊人，他们“确实是外来人”，正如天文学家瓦日哈米海瑞（ ）在公元550年写的那样，“但是，在他们那个时代，天文学处在一个繁盛的时期。” 印度零的形式是一个中空的圆圈,我们知道是来自希腊天文学的草稿,在印度又重新改造了,这一点也不会使你感到吃惊。瓜利尔公国 (Gwalior,昔日印度北部一公国,印度旧都德里Delhi南部约250英里)的人,想在护持神神庙的旁边建一个花园,那么护持神每天就可以从花园中摘走50朵花,——这可是一个美好的想法。他们把这个礼物的细节雕刻在一块石头上,注明的日期是萨维塔（Samvat）933年(公元876年),上面还标明花园的规划是187×270哈斯塔斯（hastas,长度单位）。270被写作，50被写作 。这是这个符号0在印度出现的第一次明确的书写形式。刻在铜盘上的文档中有同样大小的0,书写的日期最早是公元六世纪,这种铜盘相当多 ——当然伪造的也很多,因为11世纪好象是获得这种铜盘的繁盛时代,不管是遗失了很久的还是新发现的,通过一点有创造性的打磨就可以获得了,所以,就出现了伪造的。你无法找到那些真正找到这些铜盘的人,你也无须与那些声称他们手中的铜盘中记载着希腊人征服了所有外来人的人争论不休。 上帝看完他们的颁奖典礼一定是离开那里去解决那些竞争中出现的小问题了,这些争吵充满了消极的谬见,假定和可能的证据,实际的谬误和荒谬的审美。如果是古印度人而不是古希腊人发明了中空的圆圈来表示零,也许现代的世界会变得更加美好,过去的历史也更加吸引人(虽然,我不能说出为什么将会是这样,因为概念本身是比表达符号更重要的,正如我们前几章已经看到的,零的概念是古巴比伦人的创造)。这确实打击了我，然而，印度人民的沉重负担也许减弱了他们的创造力，用一个充满了时间上的不确定性和偶然事故的故事来代替一个神话故事是一种损失。印度人发明了一个表达零的符号了吗？这个问题被回溯到一个在他的脖子上挂有项链的人，他身上的纹身帮助发明了零的符号,谁又能去怀疑这个问题的创意呢？按现在了解到的知识，好像印度人在9世纪末期的时候已经早已接触到了希腊人用同样的符号表达零的作品，并且已经开始充分的利用这个符号，使这个符号在他们中间扎下了根。 如果你愿意闭上眼睛去想象那些模糊数字的明确表达,我们可以把零在印度出现的时间向前推到公元876年以前。这样做又为什么如此费神呢?因为每一个故事就像每一个梦一样,有神秘的地方,所有的听起来都象神谕似的,所看到的又都象是一个征兆。对这些故事的各种各样的富有想象力的解释就象是一个盛满水的大锅沸腾时冒出的气泡那样多。对我们来说,这些故事的神秘之处在于地中海地区和古印度地区文化上的裂缝。 距离那个曾经被一些天才建造而现在又被彻底毁坏的宫殿不远，有一个叫花城（City of Flowers）的地方，大约公元500年，生活着一个天文学家叫做阿亚亥塔( )——但是有人说有两个阿亚亥塔,这两个人在人们心目中的声望是相反的——或许还有模糊的第三个阿亚亥塔存在。作为天文学家,他的名字(或者应该说他们的名字)应该意味着是“博学的人”；在他们中间至少有一个人不是唯利是图的。一些喜欢幻想的人宣称他写了两本关于矛盾陈述的书,其他一些人则宣称他仅仅写了关于矛盾的一个方面。——而同时还有人认为他那些幸存下来的文稿是完全不可靠的。他的珍珠贝壳和酸海枣的特殊混合物(1000多年前,一个阿拉伯历史学家也曾这么作过)是一个仔细观察过但随意购买了的产品吗? 无论当时的情形怎样, 阿亚亥塔是想找一个简明的方法来存放(而不是用来计算)巨大数字,他成功找到了一种奇特的表示方法。如果我们到现在还没有位置符号而表达数字,就象8在9 871中代表800因为8所在的位置是百位,我们可能不得不使用这样的书写方法来表达9 871：9T8H7Te1,在这里,T代表“千位”,H代表“百位”,Te代表“十位”(事实上,这是我们平常读数的方法)。阿亚亥塔为这种表达方法的确立做了一定的工作，仅仅更加抽象一些。 他决定使用无意义的单词,这些单词的音节代表某位置上的数字,数字由辅音字母来表示,位置由梵文(一种古印度语，为印度及吠陀经所用文字，也是印度的古典文学语言——译者注)中的九个元音字母来表示。由于前三个元音字母是a,i和u,因此如果你想利用他的表达方法写出386(他在书写的时候,先写6,再写8,然后是3,),你会查出梵文中第6个辅音字母是c,然后在其后面加上a(这就表示c处在表示单位的位置上),第8个辅音字母是j,然后在其后面加上i,接下来,第3个辅音字母是g,其后加上u,这样386就表示为：CAJIGU。问题是在这个表达体系中仅仅给出了9个可能的位置,而作为一个天文学家,他需要很多很多的位置来表示数字。他奇怪的解决方案是把这个系统加倍到18个位置----他把这9个元音每个都写两次:a,a, i,i,u,u。等等类推;他又把辅音字母分成两组:奇数位置的数字用第一组的辅音来表示,偶数位置的数字用第二组的辅音来表示。因此,我们书写386可以用这种方法:CASAGI(c是第一组的第6个辅音字母,其后的a表示奇数位第一位；s实际上是第二组的第8个辅音字母,其后的a表示偶数位第一位；g 是第一组的第3个辅音字母,其后的i表示奇数位第二位)。下次,当你去思考不同的表示方法时,请记住阿亚亥塔。 很显然在这个表达体系中并没有零(但是非常有趣,在解释这个问题时, 阿亚亥塔说:“9个元音字母被用在了2个9的位置”)，他使用“kha”来表示没有数字的空位。这个kha后来在印度成为表达零的最常见的单词。在这里它就好像是思维发展的一个慢镜头:从一个命名的空位符号到一个纯粹的位置符号的转变,从一个数字可以寄宿的空位到“空的数字(空的数字是这样一个数字,它把其它数字轻轻向前推到他们自己的位置上)”的转变。 谁能在那个朦胧的概念上使我们清楚呢?那个朦胧概念本身又是什么呢?它的主要元素是单词,这些单词含义的相互碰撞产生思想的火花：因为一旦有一个象“kha”的名字描述了零的某些方面,其它的将变得简洁起来,直到零是什么确实存在于了零的含义中。比阿亚亥塔晚50年，在乌贾因（Ujjain，印度中西部城市，当时科学中心,离昔日印度北部一公国瓜利尔Gwalior很近）有一个叫瓦日哈米海瑞（我们已经简要的提到过他)的人，他对希腊的天文学成就是高度赞扬的。他当然也没有表示零的符号,但他使用了很多名字来表达零:象阿亚亥塔的“kha”；空间的单词：象天空（ambara，sky）,空气（ ，atmosphere）,空的（，empty）等等,这些都很快成为零的常用名字。这些名字是从希腊早期的文章中(至少有一些文章一直受到他的赞扬)获得的吗? 同样是在乌贾因,大约100年后,出现了卜日马古普塔（Brahmagupta）,他是阿亚亥塔的一个严厉的批评者(相反作为阿亚亥塔的热情支持者会期望少一些这样的人物?)。他依然没有零的符号,但是象阿亚亥塔一样,他把零叫做“kha”,时常他也会象瓦日哈米海瑞一样会把零叫做“空气（ ）”或“空的（）”,“空的（empty）”是阿亚亥塔位置含义最可接受的意义吗?不管它的意思是什么,作为一个实实在在存在的形容词,我们应该注意这些方面:它是如何使零的含义更接近于数字的含义,它联起了形容词的零和名词零之间的差异；让我们注意它是如何与过去曾经出现过和将来将要出现的空心圆形的零变得一致的。 把时间再向前推进200年,也就是公元830年,在迈索尔（Mysore，印度南部一城市，位于班加罗尔西南——译者注。）南边 700英里有一个叫马哈韦日（ ）的人（他的宗教信仰从印度教转向了耆那教Jain),在他的著作《》中,他发展了卜日马古普塔的思想,并纠正了其中的错误。他广泛的和零打交道,但他也没有零的专用符号——他不把零叫做“空的”而是维持使用“kha”。也许这与他热心修订卜日马古普塔的著作有关。为什么他抛弃了瓦日哈米海瑞零的数字含义的同义词(这些含义来源于天空和空间的共性和特性,诸如深,没有止境等等,总共大概有12个相近的词来形容天空)呢? 他是为了避免在不同的上下文中把零看作不同的意义吗?这使我想起语言学家的一个观点:在刚刚开始的时候,我们理解和命名那些将要认识的单词时总是尽可能使其与以往的单词有明显的差异——这也就是我们使用的古老动词为何如此的不规则,例如:“他们是(they are)”和“她是(she is)”与“我是(I am)”就有非常大的差别。或者印度人也像希腊人一样倾向于把智慧,知识和记忆相提并论,以至于他们把像数学这类重要的事情写成便于记忆的诗歌形式。这就意味着必须有足够可以选择的单词来满足不同韵律需求(马哈韦日为每一个数字也准备了很多单词)。当然这种从形态上选取出来的发音和这种发音存储着便于记忆的数字信息加速了数学抽象的发展。 当然,这些不能解释为什么意义相同的多个单词具有相同的韵律节奏——但是诗歌的形式可能已激发了诗人表达的灵感。我不知道为何一个随便的读者使用这样一个措词：“……天空变得同加到它上面的东西一样”。 或者马哈韦日一直想用比喻把他的数学带到其它领域去?我们不得不考虑在他的一本书的致谢部分的话：“要是基纳斯（Jinas）的最高统治者的规则变得繁荣起来就好了；他破坏了单一结论的位置,使 的逻辑成为深奥的东西。”英文翻译者是这么解释的逻辑的:它是关于世界的面貌是不是真实的争论,或者世界是真实又不真实——或者是不可描述的；或者是真实的但是不可描述的,或者是不可理解也不可描述的；或者最终是，世界是真实存在的又不是真实存在的和不可描述的。 这些组合中的哪一个最符合零的含义呢?在那个时代，哪一个最好的描述了它的地位呢?零的名字越多,你可以想象,它正确表达数字的可能性就越小——依然是无层次的语言而不是严谨的数学。正如一些人宣称的那样,假如很久以来零就有一个表达它的符号,事情会怎么样呢?他们向来自幼发拉底河的证据求助，公元662年，在那里叙利亚（Syrian）的主教塞佛留斯•斯堡胡特（Severus Sebokhut）这样宣称：希腊人在科学上不是垄断者，相反他们仅仅是巴比伦帝国中迦勒底（Chaldean）人的学生；不是他们，而是叙利亚人发明了天文学；除此以外，他还发现印度人比希腊人更有创造才能，印度人使用的计算方法超过了描述方法。他接着说：“我仅仅想说，这种计算是通过9个符号完成的。”9个符号——为什么不是10个符号？事实上，这个证词难道不是在证明印度人仍然在等待零的符号获得新生？难道不是在证明零仅仅是个存在于数字之间却不是数字的单词？ 又一次是这样，当有一个符号来表示零的时候，就有更多的观念来理解他，这些观念是直接来自巴比伦人呢，还是通过希腊人传过来的？出现在印度的这种不确定性使这个符号有什么样的概念呢？这种观念是一个数字的缺乏引起的，还是为了这个缺乏而找了一个数字呢？它是一个表示“空的”标记，还是空标记？第一个含义使它远离数字，第二个含义把它放在了和数字同等的位置。 所有的条件已经具备，到了孕育零的时刻了。100年前，人们说起这样的事情，“印度的哲学和宗教的结合独一无二的适合发明零，” 他们发明一个符号来表示零就好像是想要达到涅磐（Nirvana ，涅槃不可言喻的终极，在此情况下一个人已达到智悲双运的境界——译者注）的动力一样，人人都有。在我们祖父母辈，有一本权威的书，是奥斯瓦尔德•施彭格勒（Oswald Spengler,1880-1936德国哲学家，他认为文明和文化就象人类一样也要经历兴起与衰落的循环。《西方的衰落》是他的主要著作——译者注）写的《西方的衰落》，在这本书中他写道：零是完美抽象力的一个精确创造，对于印度人所持有的把零作为一个计数的位置符号，它表示一无所有，在表示存在这个要点时它既不多也不少。他继续说，希腊人的精神充满了享乐主义，因此永远也不可能产生这种重要的东西：婆罗门的精神让那些数字可以自己不言而喻的出现。 我们抛弃施彭格勒的权威性论断，他所作论断的基础都是来源于错误的渠道，也许这是我们抛弃他的论断的最好的理由；在繁荣的 1918年，人们是如此的激动，《人类的理想》（Race-Ideals）、《命运》(Destiny)和《浮士德的灵魂》（Faustian Soul, 浮士德,欧洲中世纪传说中的人物, 为获得知识和权力, 向魔鬼出卖自己的灵魂, 德国作家歌德曾创作同名诗剧——译者注)这些剧作相继出现，20年后，这些剧作被搬上舞台。但是，我们也抛弃这些剧作不管，因为，在我们这个小心谨慎的年代，我们不相信这些大众化的东西，我们宁愿接受统一所带来的事物小的混乱而不是冒得出不诚实结论的危险。我们使我们自己理想化成为一个有严谨大脑的人。现在没有一个人在研究了印度文化以后还跟随施彭格勒说出这种话：“只有在印度的这种宗教环境下才能创造出把一无所有作为一个真实数字这样基础的概念”。 为了代替起源于印度的中空的零来自实在事物的假设，一些学者为了捍卫零起源于印度这个说法，寻找到了一个很吸引人的证据，这个证据是基于婆罗门表达10的符号——这个符号是 ，也许是（在浦那(Poona,印度西部城市)不远的一个小山的洞穴中，残留着公元前2世纪时期模糊的题字。），或者是 和，这些符号可能来自公元1世纪或2世纪纳西克（Nasik,孟买东北部，印度中西部的一个城镇——译者注）神圣的洞穴。 最终有人想把10作为计算的第二级数的第一个（继续上面的讨论），该怎么办呢？这就要求第一级数的第一个不能是1（1应该和11 相对应），因此就用了10的相似符号，把符号修剪为О来作为第一级数的第一个？为了给这个可疑的证据提供支持，他们指出早期欧洲人的算术学中经常把0写在9的后面，这是阿拉伯人的书写模式。这种推测似乎要求婆罗门符号系统中的1看起来像 、 或者==，而事实上，1同你期望的一样，是1或者_ 。非常不幸的是，在这个模糊的题词中，用0来表示20，而在克什米尔(Kashmir)有一个符号系统中，用0来表示1，这些都是靠不住的古代遗迹；而在同时期印度的其它地方，10以不同的面目出现 和 。 甚至，如果我们接受0和 的联系，希腊人的先例就要突然出现了。你在第二章的时候已经看到，在雅典的数字系统中，首字母阿尔法 (ɑ)被用来代替1。也许作为一个可以看到的双关语，1这个数字可能和一个想象中的石头结合在一起，正如你在第二章中所看到的，希腊人不是用实心的点来代表他们形象化的数字，而是用他们字母表中的字母来表示数字；举个例子，以至于毕达哥拉斯学派把10用首字母形成图案，如图： 这个能产生奇迹的符号在他传到印度的时候能被压缩为一个单个的符号ɑ吗？ 研究数学历史的历史学家卡尔•朗•科恩伯格（Karl Lang-Kirnberg）在这方面作了大量的工作，他把发明零的桂冠从印度人、希腊人甚至巴比伦人那里拿走，给了公元前3000年的苏美尔人。你还记得，在他们开始用铁笔尖写字以前，苏美尔人用芦苇在湿粘土上做记号——他们表示10的符号是用芦苇一点也不倾斜的印出符号：О。通过使用一些技巧朗•科恩伯格让我们随着他继续向前，这个符号使放在它左边的数字增大10倍，这时它就变成代表0了。他肯定地说：“如果本身没有代表10的含义，О不能使一个数字乘以10。”但是零的这个来源在过去的几千年一直藏在了哪里呢？又为什么隐藏了几千年呢？或者为什么它能选择它该出现的地点和时间出现呢？——在这一点，朗•科恩伯小心谨慎的保持着沉默。 你是否开始感觉到世界上每一个小的社会都可能是零的发源地？你是否开始小心地认为，在梵文中表示省略的单词和音节的符号理所当然的是一个小的 º？在鞑靼人（Tartars, 鞑靼人,在中世纪入侵西亚和东欧并居住于中亚的突厥和蒙古部落的成员）的文章中多余的部分用椭圆圈掉，这也是零的起源吗？或者，公元1150年，印度的一个数学家为了区别两个数字中被减掉的一个数，在它的上面画一个小园来做标记，这也能称为零的起源吗？这个圆圈被扩展并用到了其它的各各地方？ 或者你是否已经得出这样的结论，原本我们就没有很多的可以很容易的书写和发音的符号，但是有很多伟大的想法和工作需要符号，我们应该能够很幸运的通过上下文来来帮助我们数数和计算，我们应该能分辨出来这个符号到底是该读作度数、单子（monad）、70米瑞亚德、减去的数、奥卜尔、多余的单词、省略的单词、小石块或者拿走小石块后、70或者1或者20或者10或者根本什么也没有。区别这些可是困难的。 从历史现象本身出发，关于零的起源的推测大量的涌现。我们试图从现在保留极少的遥远的过去的档案中重新找到那时发生的事情。当时的线索是很少的，但是我们的思维有创造性，我们抓住任何一个可以照亮黑暗的火花，让我们来创造性的想像当时发生的事情。你希望下一个证据或者推测不再是增加关于零的起源的那个列表的长度，而是开始去寻找它们之间的联系。再次听一下塞佛留斯•斯堡胡特主教的话，你的愿望就将实现。 他说，印度人有计算的方法，这种方法超过了单纯的描述。你是否想知道为什么有那么多符号和单词混杂在一起还有那么多的同义词，其实我也很想知道。答案是他们并不用这些单词计算，而是像希腊人一样使用一个计算板来计算，所有的这些文字系统仅仅是为了保存结果。关于他们的计算板，我们知道些什么？一些令人惊奇的东西是：在计算板上有一薄层细沙覆盖着！事实上，常说的“更高一点的计算”是“沙粒的工作”，铺上一层沙粒，看起来更高一点。因此，我们寻找的支持我们关于О的猜想的证据，是来自于印度的灰尘或者沙粒上拿走圆形筹码后留下的压痕。