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为什么解决零的表示问题的过程如此旷日持久呢？为什么这以后使用零的步伐仍踌躇不前呢？为什么已经浮出水面又没入水中，若隐若现？原因在于我们思想与语言相互转化的方式，和由此产生的困惑，不管是过去还是现在。这也是一种娱乐，想想我们从格什温（Gershwin）的诗里得到乐趣 我得到了足够的零， 但是一个已足够。 我们怀着强烈的兴趣，反复思考这句看似荒诞不经的话，品位它表面与内涵的不同。 这种似是而非的说法在古代迅速成为流行。公元前十八世纪末的某个时候，编辑整理《奥德赛》（Odyssey，古希腊荷马所作史诗，汉语意思是指长期的冒险旅行——译者注）的歌唱家在奥德修斯（Odysseus，《奥德赛》中的主人公——译者注）刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯（Polyphemos，独眼巨人之一）的故事中研究过它，独眼巨人（Cyclops，独眼巨人家族的任何一个，在这里指波吕斐摩斯，据说从这些泰坦 Titans传下来，居住在西西里岛，只有一只眼睛的神——译者注）吃掉了奥德修斯的几个同伴，要不是奥德修斯骗过了他，并刺瞎他的眼睛，剩下的同伴也会成为他的盘中餐。 奥德修斯让波吕斐摩斯喝下烈酒，当独眼巨人叫道： “再给我一些酒，立刻把你的名字告诉我，以便让我给你一件奇异的礼物让你 称心如意。” 奥德修斯一次又一次倒满他的酒碗，说： “巨人，你想知道我显赫的名字，但是我要求你 遵守诺言，给我这份奇异的礼物。 事实上，我的名字叫‘没有人[ ，Outis]’。我的父亲和母亲叫我‘没有人’，同伴也这么叫我。” 他这么一说，波吕斐摩斯立刻残忍地说： “‘没有人’，我先吃掉他的同伴，最后再吃‘没有人’，这就是我给你的奇异 的礼物。” 一等巨人醉倒昏迷过去，奥德修斯和他的同伴们就用尖树桩刺瞎了他的眼睛，波吕斐摩斯发出了痛苦的喊叫声，别的独眼巨人都跑来了，他们在他封闭的洞穴前向他呼喊： “波吕斐摩斯，你为什么被人战胜？ 在这样神圣的夜晚，你的叫声让我们无法入睡。 不可能有人敢不顾你的反对正带走你的羊群吧？ 不可能有人正在用诡计或暴力伤害你吧？” 残暴的波吕斐摩斯在洞穴中跟他们说： “我的朋友们啊，‘没有人’正在用诡计和暴力伤害我。” 他的朋友们听到这个以后，劝说他要耐心承受上帝给予的一切，便回到自己的洞穴中。所以奥德修斯和他的同伴们一边逃跑一边嘲笑瞎眼的巨人。 你一定会认为，这个能够整理和津津乐道这样一个笑话的人给“无”一个名字，并象奥德修斯对巨人所做的那样灵活使用“无”也是轻而易举的。但是，在荷马时代或古希腊都没有零的踪迹，事实上，直到亚历山大时代（这个笑话已经不复辉煌的时候）也没有。如果在你面前看不到或思想中也不存在计算板的数位，一个数位上的筹码已经满了要进到前一位而留下一个空白在后面——如果你没有符号来代表那些空的或填满的位置，并从你熟练的操作中创造一种语言 ——那么你就不可能超越你的手工，竭尽可能做的就是：吸取并简化眼睛能看到的，然后对它们进行升华。 荷马（Homer）时代的希腊人以10（有时以5）来进行分组，以这些词的第一个字母来代表数字符号，象罗马人后来做的那样从左向右成串地写下这样的符号，所以318就是300+10+5+3 HHHΔΠⅢ ↑↑↑↑ 3×H+1×Δ +1×Π+3 这里，H，Δ和Π分别为Hekatm(100)，Deka(10)，Pente(5)的第一个字母。 没有位置符号，因此后来就有了罗马人所遭遇的估算时的所有不幸。更糟的是：那些早期希腊人没有把数字从他们的计数中完全抽象出来，因此，偶尔地代表货币单位与数量的符号会合成在一起：他们写 而不是HT来代表100塔兰特(T)。就象我们写$代表一美元，写表示11美元，让随意涂鸦作装饰品来引导我们，而不是描画特别抽象出来的符号。 在5世纪的雅典（Athens），高度发达的希腊文明时期，一场我们无法知道原因的改革席卷而来。它使希腊字母表中的24个字母加上另外3个字母分别代表数字的前9（1—9），然后是前90（10—90），前900（100—900）。所以10的符号是ι（iota，希腊语第9个字母），扩展后的字母表中第10个字母；11是ια——但是第11个字母κ代表20。这时10个一组的表示方法完全被掩盖了，例如318变成了 第21个字母τ第10个字母ι第8个字母η 即第3个100即第1个10即8 画在它们上边的那条线就是把这个数目与一个可能的词语区别开来（在这种情况下，τιη表示why（为什么））。这种混乱会变得更严重吗？会，而且事实正是如此：不同的时期，不同地点，混乱不是在减少，相反而是在上升，而在有些时候，所有的规则都会被忽视。装饰性又一次推动了这种计数方法吗？或者只是一种希腊人的固执精神？ 不管什么原因，位置符号的缺少意味着他们仍然没有代表零的符号。可能是亚历山大时代的希腊人发现了零在计数中扮演的重要角色，在公元前331年，他们侵略了巴比伦帝国，除了掳走了妇女和金子，还带走了零，在他们公元前3世纪的天文学著作中发现了用符号O表示零。为什么是这个中空的圆？它来自哪里？我们知道，一个时期内书面上使用两个巴比伦的楔形。可以想象，希腊人把这个“舶来品”铸在自己的硬币上。这一切确切地发生在哪里，什么时候都无从查考，证据已经随时光灰飞烟灭。但是人类总是设法去回答更困难和更有趣的“为什么”的问题。象托马斯•布朗（Thomas Browne）爵士曾经说过的：“塞壬（Siren,一群女海妖之一，用她们美妙的歌声诱惑船只上的海员，从而使船只在岛屿周围触礁沉没——译者注）唱的是什么歌？虽然令人迷惑不解，但不能制止我们去猜想。”当然，在研究这个问题的书中不乏猜想，却象前一年秋天脆弱的落叶一样不堪推敲，还有埋葬在摩洛哥陵墓中的文章和德国人辛勤留下的手稿，都对这个问题作了猜想。 最普通的解释是零来自希腊文的第15个词，ουδευμ的第一个字母，意思是“没有东西”。象奥德修斯的名字，或仅仅源于ουτ，“不”，象我们的“无”，可以看出，荷马时代的体系中，很多符号都来源于数字名的第一个字母，我认为这种解释仅有点沾边的证据，在后来的希腊，ουδευ变为μη δε。十五世纪拜占庭（Byzantine东罗马帝国时期）时期的希腊文中，我们发现一个有点象μ的符号ч来表示零。 这整个解释被一位希腊天文学的权威草率地推翻了，因为希腊人已经给奥米克戎（omicron希腊语的第15个词）O赋值为70，他说，这里的符号是一种随意的抽象。或许是；但是在希腊数学中，由于首字母缩略字的原因，圆圈至少还出现了两次。活跃在公元3世纪亚历山大时期伟大的数学家丢番图（Diophantus），选择 （因为“mo”是希腊表示单位的词monad的前两个字母。没有人会因为 表示70 000而混淆。表示70的O放在M上表示10 000。）作为一个把几万与更小的数目区别的符号。阿基米德时代的天文学家们用 表示“度”，在希腊语中是moria。“o”沿用了两千两百多年,我们现在依然用这个符号来表示我们的“度”，这是令人鼓舞的。 如果你倾向于希腊人发明零时没有参照他们的字母表的观点，那么留意一下自然界给我们提供了很多圆形中空的东西，这个判断的武断性也就大大降低了，从一个张开的嘴巴到月亮朦胧的轮廓，从火山口到伤口。纳伯科夫（Nabokov）曾写过：颅骨，种子和所有美好的东西都是圆的。 不管零的符号怎样进化，在它上面总有一些奇特的条纹， 或者 或 甚至有时是。这些装饰使托勒密（Ptolemy，大约公元150年）这样的天文学家们保持符号整齐。我们在他的《至大论》（Almagest，“The Greatest Synthesis”）一书中，在表示三角形中角的度数时，使用了三段数来表示，O既用在中间也用于了两端。（象我们一样，他在巴比伦60进制中使用度，分，秒）。所以 代表4°00′18″，代表0°33′04″。装饰条不正表明零仍然不具备一个数字的属性，被亚历山大时期的希腊人象我们使用标点符号一样使用它吗？ 更进一步的证据来自于某些新出现的问题，使这项研究继续下去。我们所有的仅存的《至大论》的手稿是拜占庭时期，托勒密留下的。而且在这些手抄本上，仍保留有数字字母名上的条纹，但零上面的条纹经常消失了——所以零仍然区别于数字符号（但现在已经跟以前有所不同了）。 更中肯的是，这里的O表明的是计量单位种类（度、分、秒）的缺少，但是仍然不能与别的数字一起组成一个数目。比如你有38个鸡蛋，你可能说你有3打零2个鸡蛋——一般不会说有两打零14个，虽然这样在数学上是正确的，英国的币值在十进制以前也是这样的，说你有5磅22先令14便士是习惯用法的错误，实际你有的是6磅3先令2便士。这两种计量都是我们更早时期处理数目方式的倒退，那时的计量单位只是为了限制不同“堆”的附加物。计算物体的数量要在常规传统界限之内。从书写一个符号表示“这一数位什么也没有”到象“106”或“41.005°” （41°00′18″的数字形式）这样的数字出现仍然有一段很长的里程要走。 既然零几乎不会在希腊人天文著作以外的地方出现，为什么希腊人没有继续这条路呢？而且，为什么这样一个有创造力的民族，在有位置符号写法很长时期还没有零？在他们能力的顶峰时刻，为什么没有从应该已经启发了思想的地方又前进地更远？ 你可能提出异议说一切归于他们对埃及人的推崇，埃及人既没有零也没有表示位置的数字书写方式。但是对希腊人来说，推崇往往会转变为竞争，他们对粗俗的没有耐心（埃及人的数制缺乏任何高雅的地方）导致对我们奉为科学精神的无休止的混乱；从头到尾，是好奇心带来了灵活多变。现在仍然是这样：我曾偶尔问一个希腊朋友他有多少同胞在巴黎生活。他耸耸肩说：“谁知道呢？但是我会很快得到答案。”他飞快地冲出我们的咖啡桌，跑向最近的墙，开始用手指钻洞。“你在干什么？”我大惑不解地问。“不知道，”他说，“但是希腊人是好奇的，不用多久在巴黎的每个希腊人都会来这儿，提出问题并且给出建议。” 那么，如果不是对埃及人充满敬意，什么能解释希腊充满机智的历史上的这个怪现象呢？非常奇怪的是计算在他们当中并没有多少声望。是他们称做象征派逻辑和商人之类的人做的。不是所有的希腊人都轻视商业，他们很擅长于此，整个雅典帝国可以证明——但是，他们的悠闲阶级却是轻视商业的，那些我们有他们作品的思想家就是这个阶级的。他们的数学在几何学方面涉足很深，取得了意义深远的结论。 这些几何学家——在他们中间出现了苏格拉底（Socrates）和柏拉图（Plato）——通过画在沙地上的图形用几何学的方法解决算术学的问题。1，3，6，10等等是三角形数，因为你可以通过用一行点来增大等边三角形来获得。 三角形数 这样的图案产生了更进一步的洞察力——按照正方形数，正五边形数的顺序，例如 一些多边形数字 但是没有零，也不需要零，因为他们不是在计算而是希望通过这些图形来揭示宇宙中存在的规律。 这把商人置于何种境地了呢？他们使用一种哲学家永远也无法描述的装置，今天你仍然能够看到他们的后代在酒馆中玩着西洋双陆棋游戏（十五子棋戏供两个人玩的木板游戏，通过掷骰子来决定棋子移动的步数——译者注）——计算板。甚至在这之前——虽然这些计算板可以追溯到至少公元前17世纪（巴比伦人可能在早一千年前使用过）——他们用手指通过灵巧的方法飞快地进行计算（你仍然能看得到，在市场上，女人们弯曲和绞起手指，用于某种有人称做 “女人的算法”中，或者有人称这种算法叫“提花马赛布算法”）。 梭伦（Solon），古代雅典伟大的立法者，在他的一篇诗歌中把暴君的喜好和计算板相比，它的价值依赖于人们一时兴致把筹码从一个数位拖到另一个数位。这个隐喻告诉我们关于零的决定性作用——特别是当我们看到这个隐喻在五世纪后被历史学家波利比奥斯（Polybius）夸大后。 围绕在国王周围的朝臣实际上象计算板数位上的筹码一样。因为，依靠计算者的愿望，他们或许价值仅八分之一奥卜尔（obol，古希腊银币），或者一整塔兰特（talent，古希腊银币，大约是八分之一奥卜尔的300 000倍之大）。你应该注意到计算板上从左到右的数位当然没有表示零的（一些希腊计算板从左到右明显地有一些数位分别地代表1个塔兰特（6 000 德拉克马drachas，古希腊银币名），然后是1 000，100，10和1 德拉克马，之后是1，1/2，1/4和1/8奥卜尔(6奥卜尔是1 德拉克马)，这些是用作计算钱币的计算板，就像那些计算房中老式的计算板，这些计算板后来进入我们的银行，也就成了计算用的长形工作台）。因为，换句话说，“无（零）”不是一样东西，也不是一个数字，而是计算板的一种状态——经常是瞬时的状态。手指计算也是这样，如果我们用更晚一些的体系，探究一下比德（Bede）副主教写于大约公元730年的“关于用手指计算和交流”手稿，“零”用手指松开 或平常位置来表示，换句话说，它根本没有手势示意。 比德（Bede）用手指符号表示2 000 希腊做计算的人几乎不需要表示数量的名称，因为他们可以用数位上的筹码来说明： 4 825：在X（=1000）位有四个筹码，所以是4000 在 （=500）位有一个筹码，所以是500 H（=100）位有三个筹码，所以是300 Δ（=10）位有两个筹码，所以是 20 Γ（=5）位有一个筹码，所以是5 4 825 更进一步的运算显而易见。但是，非常糟糕，甚至发展到需要名字的时候，零也不在其中。 我们进行一两页离题的讨论：这些计算板告诉了我们一些关于零的符号的来源的推测。在阿普利亚区（Apulia，意大利东南部的一个地区）出土的公元前4世纪的一个有红色图案的精巧的双耳喷口杯，我们称它为大流士（Darius，古波斯帝国国王）花瓶，在这上面可以看到皇家司库在计算被征服国家呈上的贡品的价值，这些国家的代表躬身站在他面前。他坐在一个有币值符号的计算桌子旁，其中一个是O，奥卜尔（Obol）的缩写，一个硬币的价值，就像你看到的，几乎一文不值（他们运走尸体时，把一个硬币放在死者的舌头下面来付给摆 大流士的司库坐在他的计算桌旁 渡到上帝那里的船夫）。几乎一文不值？如果你手头没有表示“无”的符号，一个跟它价值相近不可以吗？在科普特（Coptic）文中，用巨蟹座回归线附近六月正午十分的影子（根本就没有影子），据说有半脚长，来避免不得不说到的零。或者如哈姆雷特（Hamlet）的朋友霍雷肖（Horiatio）会对我们说：“太难以理解而不能这么考虑？”我个人认为不是计算板上的数位而是筹码给了我们一直寻找的线索。用作筹码的卵石一定有点圆，因此在书写中就很自然地用实心的点●表示，因此，用图形来表示在数位上一个筹码也没有就是一个空心的点O。从一个图形到符号（图象到图象）不是一个很长的历程：思考一下罪犯们简洁的黑话“两个O一个位置”就是粗略查看快速但全面地检查或做（once-over），也表示一个栩栩如生的双关语，一双监视的眼睛。为什么圆形的O经过几世纪拉长为0了呢？因为劈开的大羽毛和钢笔尖在画一个连续的圆要比画两个垂直并弯曲的笔画困难得多。 如果符号方面的存在到不存在，●到O，对你来说，仍然是太大的一步，有一个相似的推测来缩短这一步。可能不是希腊的几何学者在顽童似的把玩商人们的筹码时偶然地发现了三角、正方、多边形数字的数字。他们不应该是唯一的拿这些筹码做上述用途的人：两千年后年轻的歌德（Goethe）就热衷于在父亲的计算板上把石子排列成星座的形状。我们从柏拉图可以推断几何学家们至少有时在沙上涂写他们的数字，如果他们也在沙地上用卵石得到他们的成型数字，那么商人们——或者不管是谁使用筹码来计算——看到这些图案时也会看到拿掉一个筹码后的结果：在位置上留下了一个圆形的压痕，是O代替了●。霍雷肖又要对这些假设清嗓子了吗？用撒了沙子的计算板会让他对不可能的事感到满意。 从这个分支开始追溯，我们能得出结论，希腊人用一种形式写数字，另外一种形式来进行数字计算。雅典贵族的势利不能完全解决这个分歧：一些隐秘而且更深入的东西在起作用——语言的重点和思想的重点在互相转化。看那些卵石在你周围迅速移动不可能产生信任——象旧骗局的受害人将告诉你的那样。阿里斯托芬（Aristophanes），五世纪雅典喜剧作家，在他的一本作品中，有一个人物这么说，城市的财政不应该用卵石计算而是用手指。但是手指计算为什么更值得信任？它不能留下永久的记录。需要一种代码既足够灵活使用，又利于思考，但要足够安全来抵制像台比留国王那样的人。你注意到我们仍不得不老是要解决这个问题：在你的支票上必须不但用数字，而且要用词语写出数字，银行将核对它们，这样才可以减少被伪造可能。 计算的方式仍保留着清楚的记录：这是身体与思想分离的地方。想想填满你日常的这些成千上万的不可名状的举动：调整你的声音来表达兴趣或轻蔑；系你的鞋带；做一个煎蛋或一次精确的射击。这些动作是你的身体知道如何去做但你试图描述时又总是犯错。但是这不管多么令人惭愧，直到这些招数能用语言表达出来时我们才能从中抽象并带入我们的思想。零——在行动与事物之间保持平衡（数字是什么，它什么时候成了形容词或名词？）——使用者不管什么时候停下来思考他们正在干什么都会感到迷惑。 希腊人蒙在这个不被称作数字的数字（零）的最后一层面纱：我们知道，它也是蒙在别的其他数字上的面纱。语言出现于我们的行动与思想之间，但是它本身有两个层面，口头的和书面的。书写的永久性使它在两者中是对我们更有价值的。但是不总是这样，那个黄金时代的希腊人有特别的观点，一些是基于他们的歌唱家特别的能力，他们可以用心记住象《伊利亚特》（Iliad）和《奥德修斯》这样的洪篇巨著的史诗。记忆常常被等同于知识，充满智慧的知识——因此文章（我们文化的宝库，与祖辈的联系）的记忆对他们来说是类似于乐谱的东西：当音乐会上的钢琴家面前摆着乐谱才能完成演奏时会使你感到扫兴。或许这就是为什么柏拉图写对话了。这些对话是他们的语言，却不被这种语言接受。他在一本书中故意地使苏格拉底证明这样一个问题，书写会导致健忘而且只给出了真理的外表，而不是真理本身。这可能也是为什么更早的哲学家赫拉克利特（Heraclitus）使他的格言格外的简短而令人困惑，事实上，希腊人就是因为这个而发明了反语，不说出你想要表达的意思的全部，而仅仅是说出一部分来表达全部意思。 零也是一种反语吗？它在希腊文中的缺失可能不表明他们不用或不思考它，事实上，或许正好相反。保守秘密的规矩遮掩了同时代的毕达哥拉斯（Pythagorean）同行们的活动，数学对他们来说是重要的东西，而且它的新加入者为他们关于宇宙秩序的新发现保密（在等级制度中，了解了关于无秩序状态的更深秘密的人会受到失去理性的成员的威胁）。他们可能是一些秘密传统的管理者，包括零，后来都遭受了在我们视线之外漫长的潜行。仅仅在几世纪以后零就出现在印度炎热特别的灰尘中？ 当然，像狗不吠叫之类的证据永远不可能被庄严的历史所接纳。那些标准的证据使我们仔细地研读一行行的文字，而不是仅仅游离其中。但是思想也热衷于间接地找出前进的方向，在法庭外点头和眨眼一样好：他们警告你，不管从这里出现了什么符号，不管怎样，都无法代替零所表示的不存在。