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NumPy（http://www.scipy.org/NumPy/）是非常有名的Python 科学计算工具包，其中包含了大量有用的思想，比如数组对象（用来表示向量、矩阵、图像等）以及线性代数函数。NumPy 中的数组对象几乎贯穿用于本书的所有例子中1 数组对象可以帮助你实现数组中重要的操作，比如矩阵乘积、转置、解方程系统、向量乘积和归一化， 这为图像变形、对变化进行建模、图像分类、图像聚类等提供了基础。 注1： PyLab 实际上包含NumPy 的一些内容，如数组类型。这也是我们能够在1.2 节使用数组类型的原因。 NumPy 可以从http://www.scipy.org/Download 免费下载，在线说明文档（http://docs. scipy.org/doc/numpy/）包含了你可能遇到的大多数问题的答案。关于NumPy 的更多内容，请参考开源书籍[24]。 1.3.1 图像数组表示 在先前的例子中，当载入图像时，我们通过调用array() 方法将图像转换成NumPy 的数组对象，但当时并没有进行详细介绍。NumPy 中的数组对象是多维的，可以用来表示向量、矩阵和图像。一个数组对象很像一个列表（或者是列表的列表），但是数组中所有的元素必须具有相同的数据类型。除非创建数组对象时指定数据类型，否则数据类型会按照数据的类型自动确定。 对于图像数据，下面的例子阐述了这一点： im = array(Image.open('empire.jpg')) print im.shape, im.dtype im = array(Image.open('empire.jpg').convert('L'),'f') print im.shape, im.dtype 控制台输出结果如下所示： (800, 569, 3) uint8 (800, 569) float32 每行的第一个元组表示图像数组的大小（行、列、颜色通道），紧接着的字符串表示数组元素的数据类型。因为图像通常被编码成无符号八位整数（uint8），所以在第一种情况下，载入图像并将其转换到数组中，数组的数据类型为“uint8”。在第二种情况下，对图像进行灰度化处理，并且在创建数组时使用额外的参数“f”；该参数将数据类型转换为浮点型。关于更多数据类型选项，可以参考图书[24]。注意， 由于灰度图像没有颜色信息，所以在形状元组中，它只有两个数值。 数组中的元素可以使用下标访问。位于坐标i、j，以及颜色通道k 的像素值可以像下面这样访问： value = im[i,j,k] 多个数组元素可以使用数组切片方式访问。切片方式返回的是以指定间隔下标访问该数组的元素值。下面是有关灰度图像的一些例子： im[i,:] = im[j,:] # 将第j 行的数值赋值给第i 行 im[:,i] = 100 # 将第i 列的所有数值设为100 im[:100,:50].sum() # 计算前100 行、前50 列所有数值的和 im[50:100,50:100] # 50~100 行，50~100 列（不包括第100 行和第100 列） im[i].mean() # 第i 行所有数值的平均值 im[:,-1] # 最后一列 im[-2,:] (or im[-2]) # 倒数第二行 注意，示例仅仅使用一个下标访问数组。如果仅使用一个下标，则该下标为行下标。注意，在最后几个例子中，负数切片表示从最后一个元素逆向计数。我们将会频繁地使用切片技术访问像素值，这也是一个很重要的思想。 我们有很多操作和方法来处理数组对象。本书将在使用到的地方逐一介绍。你可以查阅在线文档或者开源图书[24] 获取更多信息。 1.3.2 灰度变换 将图像读入NumPy 数组对象后，我们可以对它们执行任意数学操作。一个简单的例子就是图像的灰度变换。考虑任意函数f，它将0...255 区间（或者0...1 区间）映射到自身（意思是说，输出区间的范围和输入区间的范围相同）。下面是关于灰度变换的一些例子： from PIL import Image from numpy import * im = array(Image.open('empire.jpg').convert('L')) im2 = 255 - im # 对图像进行反相处理 im3 = (100.0/255) * im + 100 # 将图像像素值变换到100...200 区间 im4 = 255.0 * (im/255.0)**2 # 对图像像素值求平方后得到的图像 第一个例子将灰度图像进行反相处理；第二个例子将图像的像素值变换到100...200 区间；第三个例子对图像使用二次函数变换，使较暗的像素值变得更小。图1-4 为所使用的变换函数图像。图1-5 是输出的图像结果。你可以使用下面的命令查看图像中的最小和最大像素值： print int(im.min()), int(im.max()) 图1-4：灰度变换示例。三个例子中所使用函数的图像，其中虚线表示恒等变换 图1-5：灰度变换。对图像应用图1-4 中的函数：f (x)=255-x 对图像进行反相处理（左）；f (x)=(100/255) x+100 对图像进行变换（中）；f (x)=255(x/255)2 对图像做二次变换（右） 如果试着对上面例子查看最小值和最大值，可以得到下面的输出结果： 2 255 0 253 100 200 0 255 array() 变换的相反操作可以使用PIL 的fromarray() 函数完成： pil_im = Image.fromarray(im) 如果你通过一些操作将“uint8”数据类型转换为其他数据类型，比如之前例子中的im3 或者im4，那么在创建PIL 图像之前，需要将数据类型转换回来： pil_im = Image.fromarray(uint8(im)) 如果你并不十分确定输入数据的类型，安全起见，应该先转换回来。注意，NumPy 总是将数组数据类型转换成能够表示数据的“最低”数据类型。对浮点数做乘积或除法操作会使整数类型的数组变成浮点类型。 1.3.3 图像缩放 NumPy 的数组对象是我们处理图像和数据的主要工具。想要对图像进行缩放处理没有现成简单的方法。我们可以使用之前PIL 对图像对象转换的操作，写一个简单的用于图像缩放的函数。把下面的函数添加到imtool.py 文件里： def imresize(im,sz): """ 使用PIL 对象重新定义图像数组的大小""" pil_im = Image.fromarray(uint8(im)) return array(pil_im.resize(sz)) 我们将会在接下来的内容中使用这个函数。 1.3.4 直方图均衡化 图像灰度变换中一个非常有用的例子就是直方图均衡化。直方图均衡化是指将一幅图像的灰度直方图变平，使变换后的图像中每个灰度值的分布概率都相同。在对图像做进一步处理之前，直方图均衡化通常是对图像灰度值进行归一化的一个非常好的方法，并且可以增强图像的对比度。 在这种情况下，直方图均衡化的变换函数是图像中像素值的累积分布函数（cumulative distribution function，简写为cdf，将像素值的范围映射到目标范围的归一化操作）。 下面的函数是直方图均衡化的具体实现。将这个函数添加到imtool.py 里： def histeq(im,nbr_bins=256): """ 对一幅灰度图像进行直方图均衡化""" # 计算图像的直方图 imhist,bins = histogram(im.flatten(),nbr_bins,normed=True) cdf = imhist.cumsum() # cumulative distribution function cdf = 255 * cdf / cdf[-1] # 归一化 # 使用累积分布函数的线性插值，计算新的像素值 im2 = interp(im.flatten(),bins[:-1],cdf) return im2.reshape(im.shape), cdf 该函数有两个输入参数，一个是灰度图像，一个是直方图中使用小区间的数目。函数返回直方图均衡化后的图像，以及用来做像素值映射的累积分布函数。注意，函数中使用到累积分布函数的最后一个元素（下标为-1），目的是将其归一化到0...1 范围。你可以像下面这样使用该函数： from PIL import Image from numpy import * im = array(Image.open('AquaTermi_lowcontrast.jpg').convert('L')) im2,cdf = imtools.histeq(im) 图1-6 和图1-7 为上面直方图均衡化例子的结果。上面一行显示的分别是直方图均衡化之前和之后的灰度直方图，以及累积概率分布函数映射图像。可以看到，直方图均衡化后图像的对比度增强了，原先图像灰色区域的细节变得清晰。 图1-6：直方图均衡化示例。左侧为原始图像和直方图，中间图为灰度变换函数，右侧为直方图均衡化后的图像和相应直方图 图1-7：直方图均衡化示例。左侧为原始图像和直方图，中间图为灰度变换函数，右侧为直方图均衡化后的图像和相应直方图 1.3.5 图像平均 图像平均操作是减少图像噪声的一种简单方式，通常用于艺术特效。我们可以简单地从图像列表中计算出一幅平均图像。假设所有的图像具有相同的大小，我们可以将这些图像简单地相加，然后除以图像的数目，来计算平均图像。下面的函数可以用于计算平均图像，将其添加到imtool.py 文件里： def compute_average(imlist): """ 计算图像列表的平均图像""" # 打开第一幅图像，将其存储在浮点型数组中 averageim = array(Image.open(imlist[0]), 'f') for imname in imlist[1:]: try: averageim += array(Image.open(imname)) except: print imname + '...skipped' averageim /= len(imlist) # 返回uint8 类型的平均图像 return array(averageim, 'uint8') 该函数包括一些基本的异常处理技巧，可以自动跳过不能打开的图像。我们还可以使用mean() 函数计算平均图像。mean() 函数需要将所有的图像堆积到一个数组中； 也就是说，如果有很多图像，该处理方式需要占用很多内存。我们将会在下一节中使用该函数。 1.3.6 图像的主成分分析（PCA） PCA（Principal Component Analysis，主成分分析）是一个非常有用的降维技巧。它可以在使用尽可能少维数的前提下，尽量多地保持训练数据的信息，在此意义上是一个最佳技巧。即使是一幅100×100 像素的小灰度图像，也有10 000 维，可以看成10 000 维空间中的一个点。一兆像素的图像具有百万维。由于图像具有很高的维数，在许多计算机视觉应用中，我们经常使用降维操作。PCA 产生的投影矩阵可以被视为将原始坐标变换到现有的坐标系，坐标系中的各个坐标按照重要性递减排列。 为了对图像数据进行PCA 变换，图像需要转换成一维向量表示。我们可以使用NumPy 类库中的flatten() 方法进行变换。 将变平的图像堆积起来，我们可以得到一个矩阵，矩阵的一行表示一幅图像。在计算主方向之前，所有的行图像按照平均图像进行了中心化。我们通常使用SVD（Singular Value Decomposition，奇异值分解）方法来计算主成分；但当矩阵的维数很大时， SVD 的计算非常慢，所以此时通常不使用SVD 分解。下面就是PCA 操作的代码： from PIL import Image from numpy import * def pca(X): """ 主成分分析： 输入：矩阵X ，其中该矩阵中存储训练数据，每一行为一条训练数据 返回：投影矩阵（按照维度的重要性排序）、方差和均值""" # 获取维数 num_data,dim = X.shape # 数据中心化 mean_X = X.mean(axis=0) X = X - mean_X if dim>num_data: # PCA- 使用紧致技巧 M = dot(X,X.T) # 协方差矩阵 e,EV = linalg.eigh(M) # 特征值和特征向量 tmp = dot(X.T,EV).T # 这就是紧致技巧 V = tmp[::-1] # 由于最后的特征向量是我们所需要的，所以需要将其逆转 S = sqrt(e)[::-1] # 由于特征值是按照递增顺序排列的，所以需要将其逆转 for i in range(V.shape[1]): V[:,i] /= S else: # PCA- 使用SVD 方法 U,S,V = linalg.svd(X) V = V[:num_data] # 仅仅返回前nun_data 维的数据才合理 # 返回投影矩阵、方差和均值 return V,S,mean_X 该函数首先通过减去每一维的均值将数据中心化，然后计算协方差矩阵对应最大特征值的特征向量，此时可以使用简明的技巧或者SVD 分解。这里我们使用了range() 函数，该函数的输入参数为一个整数n，函数返回整数0...(n-1) 的一个列表。你也可以使用arange() 函数来返回一个数组，或者使用xrange() 函数返回一个产生器（可能会提升速度）。我们在本书中贯穿使用range() 函数。 如果数据个数小于向量的维数，我们不用SVD 分解，而是计算维数更小的协方差矩阵XXT 的特征向量。通过仅计算对应前k（k 是降维后的维数）最大特征值的特征向量，可以使上面的PCA 操作更快。由于篇幅所限，有兴趣的读者可以自行探索。矩阵V 的每行向量都是正交的，并且包含了训练数据方差依次减少的坐标方向。 我们接下来对字体图像进行PCA 变换。fontimages.zip 文件包含采用不同字体的字符a 的缩略图。所有的2359 种字体可以免费下载1。假定这些图像的名称保存在列表imlist 中，跟之前的代码一起保存传在pca.py 文件中，我们可以使用下面的脚本计算图像的主成分： from PIL import Image from numpy import * from pylab import * import pca im = array(Image.open(imlist[0])) # 打开一幅图像，获取其大小 m,n = im.shape[0:2] # 获取图像的大小 imnbr = len(imlist) # 获取图像的数目 # 创建矩阵，保存所有压平后的图像数据 immatrix = array([array(Image.open(im)).flatten() for im in imlist],'f') # 执行PCA 操作 V,S,immean = pca.pca(immatrix) # 显示一些图像（均值图像和前7 个模式） figure() gray() subplot(2,4,1) imshow(immean.reshape(m,n)) for i in range(7): subplot(2,4,i+2) imshow(V[i].reshape(m,n)) show() 注意，图像需要从一维表示重新转换成二维图像；可以使用reshape() 函数。如图1-8 所示，运行该例子会在一个绘图窗口中显示8 个图像。这里我们使用了PyLab 库的subplot() 函数在一个窗口中放置多个图像。 注1： 免费字体图像库由Martin Solli 收集并上传（http://webstaff.itn.liu.se/~marso/）。 图1-8：平均图像（左上）和前7 个模式（具有最大方差的方向模式） 1.3.7 使用pickle模块 如果想要保存一些结果或者数据以方便后续使用，Python 中的pickle 模块非常有用。pickle 模块可以接受几乎所有的Python 对象，并且将其转换成字符串表示，该过程叫做封装（pickling）。从字符串表示中重构该对象，称为拆封（unpickling）。这些字符串表示可以方便地存储和传输。 我们来看一个例子。假设想要保存上一节字体图像的平均图像和主成分，可以这样来完成： # 保存均值和主成分数据 f = open('font_pca_modes.pkl', 'wb') pickle.dump(immean,f) pickle.dump(V,f) f.close() 在上述例子中，许多对象可以保存到同一个文件中。pickle 模块中有很多不同的协议可以生成.pkl 文件；如果不确定的话，最好以二进制文件的形式读取和写入。在其他Python 会话中载入数据，只需要如下使用load() 方法： # 载入均值和主成分数据 f = open('font_pca_modes.pkl', 'rb') immean = pickle.load(f) V = pickle.load(f) f.close() 注意，载入对象的顺序必须和先前保存的一样。Python 中有个用Ｃ语言写的优化版本，叫做cpickle 模块，该模块和标准pickle 模块完全兼容。关于pickle 模块的更多内容，参见pickle 模块文档页http://docs.python.org/library/pickle.html。 在本书接下来的章节中，我们将使用with 语句处理文件的读写操作。这是Python 2.5 引入的思想，可以自动打开和关闭文件（即使在文件打开时发生错误）。下面的例子使用with() 来实现保存和载入操作： # 打开文件并保存 with open('font_pca_modes.pkl', 'wb') as f: pickle.dump(immean,f) pickle.dump(V,f) 和 # 打开文件并载入 with open('font_pca_modes.pkl', 'rb') as f: immean = pickle.load(f) V = pickle.load(f) 上面的例子乍看起来可能很奇怪，但with() 确实是个很有用的思想。如果你不喜欢它，可以使用之前的open 和close 函数。 作为pickle 的一种替代方式，NumPy 具有读写文本文件的简单函数。如果数据中不包含复杂的数据结构，比如在一幅图像上点击的点列表，NumPy 的读写函数会很有用。保存一个数组x 到文件中，可以使用： savetxt('test.txt',x,'%i') 最后一个参数表示应该使用整数格式。类似地，读取可以使用： x = loadtxt('test.txt') 你可以从在线文档http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.loadtxt. html 了解更多内容。 最后，NumPy 有专门用于保存和载入数组的函数。你可以在上面的在线文档里查看关于save() 和load() 的更多内容。