1－2章的数学问题
2010-02-03
本系列评论集中关注此书在数学上的确切性，将我看到有问题的地方罗列出来。
首先声明，这本有经济教材中的“屠龙刀”之称的书非常不错，光看结构体系、内容取材便知。不过，在我细读的过程中，还是发现作者们在数学处理上的一些不当之处，anyway，经济学家能写出如此深度的教材，相当了不起。
我将确保罗列的问题都是内容相关的，即排除误译的成分：将中译本与英文原版对比着看。
资料来源：英文版原书，http://mihd.net/6lwn52 ，题解指南，http://mihd.net/f85lkc。
能跟这样的好书做注解，真是幸运。
==========Chapter 1===========
P18，命题1.D.2证明的(ii)部分的倒数2－3行：
”对于每个y属于B，必存在某一集合B_y，使得x,y属于B_y，且x属于C(B_y)。因为C(B)不为空，所以弱公理将意味着x属于C(B)"。
依WA并不能从第一句话推导出第二句话来，因为缺乏条件：y属于C(B)。如果备择空间X有限的话，倒是能这么做。
==========Chapter 2===========
本章对矩阵（向量）算符（乘法与转置）与内积算符混杂使用，显得有点混乱。
根据附录M.A，P1315第二段，作者给出了欧氏空间上的两向量的内积运算与向量乘间的关系（当然，在R^{N}上的度量矩阵是单位阵）。不过，内积是定义在欧氏空间上的两个向量间运算，因此矩阵作为一个向量组并不是内积空间的元素，那么，矩阵与向量之间只能记为矩阵乘，而不能记为内积算符。命题2.F.3（P47）中倒数第二行的"p*S(p,w) = 0"，及式(2.E.4)（P37）就写的不一致。
事实上，可是在严格的数学书里，自线性映射导出内积空间上的矩阵后，很少见过内积算符与矩阵（向量）算符混用的例子，不好说为什么这样，但至少在保证推导的简洁统一的同时，排除了容易出现五届的机会。
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（update 07.27, 2010）
P36，由命题2.E.1引出，附录的定理M.B.1的证明（P.1317）中的记号不规范。定理M.B.1在逻辑上是正确的，证明方向也没问题，但证明过程中的记号让人产生误解。证明中的第二个、第三个公式用的符号df(tx1,tx2,...,txN)/dxn从数学定义上严格表示复合函数f(tx1,...,txN)在xn（最终变量）上的导数，这就与上下文不匹配了，原文语境中的意思是对f(tx1,...,txN)在第n个分量（中间变量t*xn）上求偏导，若写为f'_n(tx1,...,txN)（或者类似的）或许更恰当。而这个问题在该命题陈述里面不存在，因为它给的是df(x1,...,xN)/dxn。
（感谢focout同学在评论中提的意见，现在我明白你意思了，确实是符号表达问题；感谢^joe同学的清晰的表述和准确的判断。）
实际定理2.E.1最简单的证明方法，就是直接用向量的求导公式，一步即得。
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P46，由式(2.F.5)至(2.F.10)并不能完整的推导出命题2.F.2来，因为该命题要求（关键在“任意”两字）：
“对任意v属于R^{L}，有v^{T}*S(p,w)*v <= 0”
而那6个式子只能满足当v=p时的平凡情形，而据命题2.F.3，此时p^{T}*S(p,w)*p = 0，命题2.F.2就退化了（可以由命题2.F.3直接导出，无需弱公理）。
因此，需要更严格的证明，见http://www.hss.caltech.edu/~kcb/Notes/Demand3-WARP.pdf中第三个定理的证明。