算法之美
2008-03-14
这是本很新的书，06年末发行，07年才慢慢出现于人们的视野。我在08年初得知这本书，那会我还很奇怪：都什么年月了，怎么还有人写算法教材——这么“经典”的工作，不是上个世纪就被人做完了吗。
读了这本Algorithms，我才知道：这才是我心中的算法书，我等待这样一本书已经很多年了。它的确当得起这个名字。
书的三位作者：Sanjoy Dasgupta, Papadimitriou, Umesh Vazirani。
其中，Umesh堪称计算机理论界的第二名师（第一名师是他自己的导师Manuel Blum），他带过的学生们犹如一个理论计算机科学新生代的全明星队。另一个作者Papadimitriou可算是理论界的第二名笔（第一非Knuth莫属），他的书Computational Complexity和Combinatorial optimization堪称理论计算机科学最好读的专业书，他业余还写了本小说"Turing"。第三个作者Dasgupta是个算法方向的研究者，他最年轻，本身就是Umesh的学生，相比前面二位也没什么噱头——可他注定要因这本Algorithms而被载入计算机科学的史册。
在这本书之前，算法的经典教材首推CLRS的算法导论。算法导论让人印象深刻的，是它内容的全面翔实，还有它一千两百页的厚度。
而见到这本Algorithms时，你会震惊于它的薄。我从亚马逊收到这本书时，还以为拿错了包裹。
可读过之后，你就会折服于它的美。
这是一本可以给人带来巨大阅读乐趣的专业书籍。作者娓娓道来，又惜墨如金。用极精炼的语言，为我们指明了一条通向那些美丽算法的线索。我要由衷地说：这本书不仅仅是一些结果的集合，更是一段美好的旅程。我对书中涉及的内容已然熟悉，但读过之后仍感收获良多，对算法这门学问又多了些认识。真的是，写书当如是。
对我来说，算法的教与学有两个困难的地方：
其一，我们学习了那些经典的算法，除了赞叹一下设计的巧思，但总难免问上一句：怎么想到的？对学生来说，这可能是最费解、也最让人窝火的地方。我们下再多的功夫去记忆书上的算法、去分析这些算法的效率，却终究不能理喻得到这些算法的过程。心理盘算着：给我一个新问题，让我设计个算法出来，我能行吗？答案是：不知道。
可这偏偏又是极重要的，无论作研究还是实际工作，一个计算机专业人士最重要的能力，就是解决问题——解决那些不断从理论模型、或者从实际应用中冒出来的新问题。
其二，算法作为一门学问，有两条正交的线索。一个是算法处理的对象：数、矩阵、集合、串(strings)、排列(permutations)、图(graphs)、表达式(formula)、分布(distributions)，等等。另一个是算法的设计思想：贪婪、分治、动态规划、线性规划、局部搜索(local search)，等等。这两条线索几乎是相互独立的：同一个离散对象，例如图，稍有不同的问题，例如single-source shortest path和all-pair shortest path，就可以用到不同的设计思想，如贪婪和动态规划；而完全不同的离散对象上的问题，例如排序和整数乘法，也许就会用到相同的思想，例如分治。
两条线索交织在一起，该如何表述。对学生而言，不同离散对象的差别是直观的——我们已经惯于在一章里面完全讲排序、而在另一章里面完全讲图论算法；可是对算法而言，设计思想的差别是根本的，因为这是从问题的结构来的：不同离散对象上面定义的问题，可以展现出类似的结构，而这结构特征，就是支持一类算法的根本，也是我们设计算法的依据。
坦率的说，之前还没有哪一本算法书很好的解决这两个困难，就连算法导论在这两个问题上也都做得不好。传统的算法书，大多注重内容(content)的收录，但却忽视思维过程的展示(exposition)，因此我们学习了经典的算法，却费解于得到算法的过程；而且算法教材对于内容的编排多是枚举式的(enumerative)，这多少是受了the art of computer programming的影响——可那是本工具书而不是教材，因此我们一提到算法课，就想起了排序、哈希、最短路径……这些题目(topics)，却没有一个统一的线索在心中。
这本Algorithms，在短短的篇幅内，做到了。
三位作者可谓野心勃勃，几乎是胆大妄为。他们对传统算法教学思路的颠覆和背叛可谓前所未有。刚拿到目录的时候，我就替他们捏了一把汗，觉得这哪里像一本“正经”的算法书。可读下来，却不由得佩服——算法书早该这么写了。
他们并没有要全面的收录各种各样的算法，他们做的事情是理清了一条算法这门学问的线索。因此填鸭式的内容灌输不是这本书的目的；对结构的精心安排，对问题的数学结构的剖析、从而推出一个算法的过程的讲解，都体现除了这本书真正的用心：它要让学生获得最大程度的启发，要训练学生独立解决问题的能力。
我觉得这才是教育的真正目的，也是算法课应该追求的目标。
说完了种种溢美之词，也来补充一下这本书的不足。这样一本精炼的算法书，为了它道理的清晰、为了它的美，必然会放弃一点对面面俱到的追求。如果我用这本书来教一门算法课的话，我会增加一点以下的内容：
1. 数据结构。
这本书对数据结构没有单独的章节，都是在某个数据结构被一个算法用到的时候讲一下，例如priority queue之于Dijkstra's algorithm。这种做法体现了作者的观点：这门课完全就是关于algorithms，数据结构对于算法而言就只是个工具。如果同一个系还能开出一门很强的data structures课，这么做当然很好，各有侧重。但若是我来上课，肯定会提一下数据结构的一些重要思想，例如hashing，和他们的数学背景。因为对于一些实际问题，数据结构已不再是个工具，可能就是问题本身。
2. 几个没有被此书涉及到的算法设计和分析的工具：对手论证(adversarial argument)，matroid，平摊分析(amortized analysis)。
3. 书中每个算法问题目前最好的上下界(upper bounds, lower bounds)。
对于一本书而言，让它记录这些不太现实，因为除非上下界已经紧了，也许出版的第二天就会有更好的上界或下界（其实这事已经发生了，书最结尾historical notes提了一句整数乘法的fastest known algorithm，结果现在这个结果已经被刷新了）。但老师上课的时候，应该跟学生们讲一下这个内容，让学生心里有这个“上下界”和"open problem"的概念，也晓得算法不是死知识，而是正在发生中的事。
4. 讲一点比贪婪、动态规划等等更加“现代”的算法设计的思想，例如spectral analysis, metric embedding, rapid mixing of markov chain等等。
也提一点当下的实际问题（例如google或豆瓣想解决的问题）面临的一些新的考虑，例如非经典的现实的计算模型：考虑内外存的I/O模型，面对海量数据输入的streaming model，海量数据的sub-linear algorithms等等。这些现实模型上的算法需要重新设计去面对新的考量。
我理解Algorithms这本书没有收录这些内容的原因。越是新的东西老的越快，没有人希望自己的书很快过时。但上课不妨出一些这样的case studies，时髦的东西学生肯定会很感兴趣，这些新东西的粗糙也可以锻炼学生实际解决问题的能力。
5. 除了这本Algorithms作为教材，补充读物可以在CLRS算法导论和Kleinberg和Tardos的算法设计（这也是本顶新的书）之间选择一本。我个人推荐后者。