建筑中的数学之旅——1.3　问题和讨论

1.3　问题和讨论 下面的问题与文中讨论的内容有关．你可以通过这些题目思考并熟练掌握一些基础数学知识． 问题1　考虑图1-10(a)中的图形．自顶而下点的总数是1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6．而 图1-10(b)中点的个数为 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = (1 + 6) + (2 + 5) + (3 + 4) + (4 + 3) + (5 + 2) + (6 + 1) = 因此1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6= ．用同样的方法，对任意正整数n，有 ． 图　1-10 问题2　从1开始的任何连续奇数的和应该都是平方数，例如1 + 3 = 22、1 + 3 + 5 = 32、1 + 3 + 5 + 7 = 42、1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52 ．图1-11表明1+3 +5 +7 +9 + 11=62 ．假设n为任意正整数，考虑奇数2k1．令式中的 ，则前n个奇数列为1, 3, 5, ,2n1．证明它们的和1 + 3 + 5 + + (2n1)等于 ．【提示：用与问题1相同的求解方法可得．】 图　1-11 问题3　取任意两个正整数m和n，n>m．令 、 、 ，可得到正整数a，b，c．这便是生成能满足 的数a，b，c的方法．取m=1，n=2，可得a = 41 = 3, b = = 4, c = 4 + 1 = 5．因为32 + 42= 52 ，可见在这个例子中这种方法有效．取m=2，n=3，可得a = 94 = 5, b = = 12, c = 9 + 4 = 13．因为52+ 122= 169=132 ，同样，在本例中这种方法也有效．证明一般情况下这种方法成立，并用它列出其他5组满足 的正整数(a, b, c)． 问题4　研究图1-12所示的三个图形．直角三角形边长为a、b、c，其中c已给定．中间的图有两个正方形，这两个正方形按照如下方式安排，即它们所确定的4个三角形区域均与给定的三角形全等．利用这些图，写出验证毕达哥拉斯定理的 过程． 图　1-12 问题5　中国人也知道毕达哥拉斯定理．用图1-13(b)表示图1-13(a)的中国古代图形的基本信息．它在一个正方形内绘制了4个相同的直角三角形（每个的边长均为a、b、c）．确定里面正方形的大小，并用该图来验证毕达哥拉斯定理． 图1-13　(a) 是中国的勾股定理，选自《中国科学与文明》（Science and Civilization in China）第3卷：《天和地的数学与科学》（Mathe- matics and the Sciences of the Heavens and Earth），李约瑟（Joseph Needham）著，台北敦煌书局出版，1986，p22 讨论1.1　求解二次方程　二次方程 的解可由二次公式 给出．对该公式的证明需要使用配方法．它包含几步代数变换，如下文中二次多项式 的例子所示． 首先提取 项的系数，则 ．注意 ， 除以2得 ，其平方为 ．现在可将 写作 ．重新结合得 ．因为 ，则有 将 写成 后，就完成了对二次多项式 的配方．现在就很容易求解 中x的值了．将 除以6，得到 ．由于 ，则有 ．因此有 ，所以 或 ． 问题6　按照以上步骤完成 的配方．据此来求解 中x的值． 问题7　完成多项式 的配方．然后据此求解 中x的值．同样处理 ．【注意：方程 的解需要求负数的平方根．在本文中我们不考虑复数，因此认为这样的方程无解．】 问题8　用配方法验证 的解的二次公式 ． 当a = 0时，会出现什么情况？ 问题9　设x和d为任意正数．研究图1-14中的图形，讨论它们与配方法的联系． 图　1-14 *备注* 文中的“ ”（空格）为公式，以文本格式无法显示，实在不好意思 =。=