1 如何求解任意方程 计数法和自然数 负数和交易 有理数和无理数 实数和虚数 复数和代数基本定理 自然数 整数 一天的交易结果可能是赚了，赔了，或者持平。为了在统一标准下 同时衡量盈利和亏损，早期的数学家提出了一种新的数，也就是今天所 说的整数( integ巳r)。整数系统结合了正的整数和新来的负数( negative numb巳r): -1，- 2，- 3，- 4，- 5，- 6，… 从解方程的角度来说，这一新的系统有个突出的优点。现在任何只包 含加陆军口减陆的方程都可以求解了。例如，在负数出现以前，方程 x+4=3 会被当做没有意义的。但是在交易的背景未解释，它就有了完美的含义。 如果我这一天在赚了 4 个苹果以后，晚土剩下 3 个苹果，那么在这天早土 我一定是欠了 1 个苹果。所以解是 x =- 10 1.4 负负得正 一且我们有了负数，就需要了解怎样按照规则对它们进行加减乘除的 运算。加陆自然很简单: (-3) + (-5) = (-8)。减告就是: (-3) - (-5) = 20 理解它的最好的办告就是把这些无穷多的数排成一条线:加负数就往左移 动，如同减正数;加正数就往右移动，如同减负数。 最棘手的就是乘告。规则是这样的:两个正数相乘，答案是正数;一 个负数和一个正数相乘，答案是负数;会令人困惑的是，两个负数相乘， 结果是正数。 为什么会这样呢?假设我每天获利 2 个单位，那么从今天起数三天， 我就能挣得 6 个单X位3。= 6) 。但在三天以前呢(也就是说从今天起 的 3 天时间里)，我会比今天少 6 个单位 (2X (-3) = (-6))。 现在，如果我每天会亏损 2 个单位呢?那么在三天时间里，我会比今 天少 6 个单位 ((-2) X3 = (-6)) 。但在三天以前，我就比今天多 6 个单 位 ((-2) X (-3) =6)。 1.5 有理性的局限 有理数的系统(正有理数、负有理数和零)足够描述这个世界的很多 方面。从数学的角度看，它们也能够很好地发挥作用，这表现在我们能够 .. 1 如何求解任意方程 在这个系统中计算加减乘除，而永远不会超出到这些数的范围以外。大概 这个系统就足以表示出我们所需要的全部了吧?但事实证明，数的历史还 有着更长的路要走。 不过有理数即使在最初等的几何学土也是不够用的。让我们来考虑 一个边长 1 厘米的正方形，它的对角线是多长呢?记这个数为 c 。由勾股 定理，它应当满足 l+l=cXc (参见第 2 问)。换言之，我们需要求解 c2 =2 这个方程。这个数专门的名称叫作 2 的平方根，ì己作c = 12。这个 数是什么呢? 一个近似的答案是12。但恼人的事实是，没有一个分数恰好符合这样 无理性不仅不能 的条件。用现代的术语来说，12属于无理数( irrational number )的行列。 成为反驳事物存在的 这意味着它不能被恰好表示成一个分数。无理数另外一个著名的例子是 π。 根据，反而是事物存 在的条件。 1.6 数字之间的幽灵 初等几何表明有理数在数学中还很不够。如果我们把有理数排在一条 长直线土，它们之间会有空隙。乍看土去这并不明显，因为有理数相互之 间挨得太近了，而且你想有多近它就有多近。尽管如此，在12处就有一个 空洞，在 π 处也有一个。让人意想不到的是，这些空洞可不止一两个，整 条线都被这样的空洞戳得像个筛子一样。无理数就存在于此，而且它们中 的大多数描述起来都远比12或者 π 更加困难。 尽管无理数已经存在了土千年，但直到 19 世纪人们才发现了将有理数 扩充到更大数系的正确途径，用以填补其中的空隙。这个系统就叫作实数 (real number )。这是个华丽且强大的现代结构。但是，数的进化历程仍然没 有完结。 1.7 求解方程 从数学家的角度来看，实数代表着一个巨大的进步。许多之前不能求 解的方程很快都有了它们的解了。12使方程矿 =2 得以成立。类似地，我 们现在还可以求解方程旷= 3 ，旷= 5 ，旷= 6 ，乃至更复杂的方程诸如 x 3 + x = 11等。 尼采 实数组成了一条中间没有 孔隙的直线 l 如何求解任意方程 圄 想象比知识更重 可是，即使在实数中也并非所有方程都有解。正数自乘得到的结果为 妥。这是因为知识仅 正。负数自乘得到的结果也为正。这就意味着，没有实数自乘会得到负。 局限在我们当前所知 也就是说，方程 x2 = -1在实数中没有解。实数里没有r-了。 道和理解的范畴;而 想象则包纳了整个世 界，以及一切我们J降 妾知道和理解的。 一一爱因斯坦 1.8 虚数 负数和无理数在初次引入时都存在着很大争议。然而，随后出现的虚 数( imagin町 number) 使得数的极念得到了极大的扩充。与此相比，前面 那些进程就是小巫见大巫了。 16 世纪的意大利学者是最早考虑虚数的人。在这个时期，求解越来越 复杂的方程是一种智力上的角斗竞赛。那个年代最伟大的数学家会为一些 公开的方程求解问题而较量。这些斗士们可并不把虚数当做某种哲学上的 理念来看待。相反地，他们认识到了虚数在计算中发挥的巨大威力。1-1 之类的对象经常会出现在他们的工作当中。那个时期大多数人都槟弃这样 的计算，因为他们相信这就退化到了毫无意义的地步。可仍有一些人决定 继续推进，他们并不为r-了意味着什么而去过多地担心。于是，每当在工 作中发现了1-1x r-了，他们就用一个 -1来代替，然后继续算下去。那 些敢于迈出这一步的人们得到了很好的回报。在计算的最后，他们总是发 现其中的"虚项"白E相互消掉，最终得到方程的一个很好的实数解气 1.9 数成为了工维的 一且确立了虚数的作用，那么距离最终要走的那一步，即正式扩充数 系以容纳它们，就只是个时间问题了。为了达成这个目标，人们先给1-1 这个量起名叫 10 从实数和虚数出发，人们构建了复数( compl巳x number) 系统。精确地 说，一个复数是一个实数(例如4) 和一个虚数诸如 3 X i (或者3i) 相加的 结果，这个例子中即为4 + 3i 。这个步骤在数学上是完全严格的，从而虚数 再也不是单纯的想象，而可以像其他数一样用来做加拉和乘住了: (4 + 3i) + (2 - i) = 6 + 2i ①这一段内容讲的是求解二次方程的故事。在很多情况丁，尽管最终得到实根，一 元三次方程的求根公式中却会出现虚项。 圄 l 如何求解任意方程 复数有一种美妙的图示告，叫作阿尔冈国( Argand diagram )。在这种 图中，实数组成了横轴，虚数组成了纵轴。平面土的每个点都可以用它的 实坐标和虚坐标来表示。就如同加 l或减 l对应着在数轴土左移或右移一 样，现在加i 或减i贝Ij对应着土移或下移。乘以 1贝Ij对应着逆时针旋转 900 0 1.10 数字历史终结时的数学 和实数相比，复数允许人们求解更多的方程。实际土，定义这个新系 统就是要让方程 x2 =-1 有解。这时，一个讨厌的想告就出现了:我们还需 要再继续扩充这个系统来包含更高级方程(譬如 x2 = i )的解吗? 19 世纪初，阿尔冈完成了下面这一重大事实的第一个证明:复数已经 足够求解所有可能的方程了。更正式地讲就是，任何能用复数写出来的多 项式都在复数中有根。之后不久，高斯完成了同一结果的另一个证明，这 也就是人们所通称的代数基本定理。经过了土千年之后，人们扩充数系以 求解新方程的痛苦历程终于就此结束了。 l 如何求解任意方程 .. 2 如何成为著名数学家 几何学的肇始 三角形与毕达哥拉斯定理 欧拉长方体与完美长方体 费马大定理 至于这个用他名字来命名的定理，毕达哥拉斯和"数众"团体确实花 费了大量的时间来研究直角三角形，并且深深地陶醉于该定理及其推论。 很有可能他们发现了这个定理的第一个证明，从而说明它对一切直角三角 形都成立。图中所示的是这个定理的一种证明方告:国一个边长为α 十 b 的 正方形，从中可以分出四个和原来一样的三角形，还剩下一块面积为 d 的 正方形和一块面积为 b2 的正方形。如果换一种分割告，就会得到同样的四个 三角形和一块面积为 c2 的正方形。所以必定有矿十 b2 = C2 0 2.3 沿着欧拉长方体之路前进 不论"数众"多么醉心其中，但先于毕达哥拉斯许多个世纪，人类就 已经有了关于这个结果的知识。遗憾的是我们并不知道这些发现它的巴比 伦或印度几问学家的名字，所以毕达哥拉斯还能继续去享有这份赞誉①。 这些毕达哥拉斯定理的早期版本并没有明确地把它陈述出来，而是包 含了一些隐晦的三个数字的组合，诸如 3，4，5 和 5，12，13 受过训练的人们 一眼就能认出它们是"毕达哥拉斯三元组"。毕达哥拉斯三元组由一个直角 三角形三边的长度组成。很容易验证土面的例子满足毕达哥拉斯定理，伊l ①中国最早记载"勾三股四弦五"的是《周醉算经))，成书年代晚于毕达哥拉斯约四 个世纪。 a 2 如何成为著名数学家 4。+ 女口32 十 42 = 9 十 16 = 25 = 52 这些毕达哥拉斯三元组值得进一步关注。它们不仅是直角三角形的三边 长，而且还都是整数。这是不同寻常的:大多数三角形的三条边并不都是整 数。比如你把与直角相邻的边画成 l厘米，然后用斜边远起来，那么第三条 边长度就是J言厘米。这就不是一个整数。实际土，它甚至都不能写成一个 分数，而是一个无理数(参见第 3 问)。这才是一般情形。因此，毕达哥拉 斯三元组一向意义非凡:它们代表了一种极少见的情况，即最简单的几何 形状(直角三角形)，还对应着最简单的数字类型(正整数)。最开头的两个 例子是 (3，4，5) 和 (5，12，13) ，继而有侣，15，17) 和 (7，24，25)。这些组合 的任意倍数也都是毕达哥拉斯三元组，例如何，8，10) 是日，4，5) 的两倍。 直角三角形之所以有用，其中一个原因就在于由它出发可以组成其他 形状。最简单的例子就是长方形。如果把一个长方形沿着对角线一切为二， 就剩下了两个一模一样的直角三角形。所以，如果一个长方形短边和长边 分别是 5 厘米和 12 厘米，那我们就能应用毕达哥拉斯定理来算出它的对角 线长，在本例中是 13 厘米。因此用毕达哥拉斯三元组能够生成边长和对角 线长均为整数的长方形。 同样的道理也可以扩展到三维。正如一个长方形是一个拉长的正方形， 一个长方休 (cuboid) 也就是一个拉长的立方体。它有六个面，每个面都是 长方形，相对的面是一样的。当然，一且我们知道了各条棱的长度，用毕 达哥拉斯定理就能得出各个面对角线的长度。 伟大的瑞士数学家欧拉对寻找各棱长、各面对角线长均为整数的长方 体很有兴趣。这样的长方体称做欧拉长方休 (Eu1巳r brick) ，是毕达哥拉斯 三元组在三维土的类似产物。不过区别就在于欧拉长方体更难找。1719 年 第一个找到欧拉长方体的并不是欧拉本人，而是与欧拉同时代的 Pau1 Halcke o 它的棱长是 44、 117 和 240，面对角线长是 125、244 和 267 0 我们现在已经知道欧拉长方体列出来是没有尽头的，就像毕达哥 拉斯三元组一样。存在着无穷多的欧拉长方体。 2.4 追寻元美长方体 欧拉长方体的定义是，所有的棱长和面对角线长 均为正整数的长方体。显然可以有进一步的要求，即 44 体对角线也必须为正整数。这就是今天对完美长方休 117 2 如何成为著名数学家 m (p巳rfect cuboid)的定义。不过还从没有人找到过它。能在数学界声名鹊起 的荣耀正等待着这个问题的解决者 或者寻找出这样的各种边长 (棱、 面对角线和体对角线) 均为整数的长方体，或者证明这种形状根本不存在。 但这项探索将会很广阔，因为如果完美长方体存在的话，它的棱长一定大 于 10∞o ∞00∞个单位。小于它的可能性已经被人们排除了O 尽管完美长方体从未被找到，但 2009 年 I 索耶和C 赖特却发现了一个 "完美平行六面体"(perfect parallelepiped。) 完美乎仔六面体类似于完美长方 体，只不过各个面都是平行四边形( parallelograrn) 两组非正交平行 线组成的图形，而不再是长方体。素耶和赖特发现的最小的完美平行六面体 棱长为 271，106，103，面对角钱长为 101 和 183，266和312，255 和323， 体对角线长为 374，3∞，278 和2720 2.5 从几何到代数:费马大寇理 尽管扎根于几何，但欧拉长方体问题却属于另一个被称做"数论" (number theory)的数学分支。公元 250年左右，数学家丢番图写下了他 的著名作品《算术》。在其中他探讨了毕达哥拉斯公式a2 + b2 二 c2以反许 多其他的方程。一旦有了这个方程，我们就可以把三角形的图象抛之脑后 了。但在各个例子中，丢番图对方程的一般解并不感兴趣，他只关注是 否有满足方程的正整数解。这样的问题现在称做丢番图问题(Diophantine problem)。 完美长方体问题是最著名的一个丢番图问题。另外一个是费马大定理 (Fermat'slast吐leorem。) 这个定理的根据也是在毕达哥拉斯定理。毕达哥拉 斯三元组 3，4，5 是毕达哥拉斯方程旷+b2 2 的解。丢番图把它看做是将一 个平方数 cz 分解成两个较小的平方数旷与 b2 如同欧拉长方体将这个问题从几何上升到了三维高度一般，费马则是 从另一个角度着手，利用代数将这个问题一般化。费马的本职工作是律师 兼居国政府官员，但他把热情都灌注在了数学上。通过自己的研究，以及 和当时的其他数学家通信讨论，他在数论领域做出了巨大的贡献。其中最 为著名的莫过于这个在他浏览《算术》时脑海中突然浮现的费马大定理。 如果不是将平方数分为两个平方敬，而是将立方数分为两个立方数， 那会怎么样呢?费马对此很好奇。这也就是说，我们要去寻找满足方程 旷+扩 = c'的正整数。几何上就是让两个立方体的体积之和等于第三个立 回 2 如何成为著名救学家 方体的体积，且这三个立方体的棱长都是整数。费马找不到这样的数。而 且他也找不到整数满足 a4 + 旷 =c4，矿 + b5 = C 5 ，或者是α + bn = cn ，对于 任何更大的 n 他也兀能为力。 在他那本《算术》的页面边栏处，费马写道，不可能将立方分解为 两个立方，或者将四次方分解为两个四次方，或者任意高次事分解成两个 同次事。而且，他恶名远扬地宣称他已经找到了这个事实的一个"奇妙证 明"，但很不幸的是边栏"太小了而写不下"。 2.6 怀尔斯降服难题 费马固然是一位伟大的数学家，不过他有个习惯，就是喜欢宣称自己 证明了某个结论，但不把证明写清楚。今天的专家并不相信他真的对这个 问题给出了完整的证明。尽管如此，他倒是成功地证明了四次方这种特定 情况。 更一般化的问题是要去证明，对任何n 注 3 ，万程αn + b = cn 没有正整 数解。自从 1637 年费马提出以来，这个问题延续了 300 多年。尽管一些最 伟大的数学家(包括欧拉)也参与到解题之中，但还是没有人能够证明方 程兀解。有没有可能是费马错了?会不会可能存在三元组反例违背这个所 谓的"大定理" ? 事实土，虽然许多人怀疑过，但费马还是正确的。这个难题最终在 1995 年被剑桥大学的 A. 怀尔斯所解决。这个方程永远兀解，即不存在满足 等式的正整数三元组。怀尔斯的证明是一代代人所付出的艰巨努力的最顶 峰，这使得数学世界的面貌焕然一新。在丢番图万程这块古老课题和复分 析(参见第 12 问)这块现代领域之间搭建了一座桥梁，最终的证明就是在 这当中萌生的。 用立方体表示的费马大定理 2 如何成为著名数学家 圄 35.6 如何度量信息 对人类来说，由 0 和1组成的不同的长序列看起来其实都差不多。但 这真是一件很悲 这仅仅是因为我们一般不讲这种语言，其实它们之间有着很大的不同之处， 哀的事情一一如今几 特别是在序列所包含的信息量的意义下。我们可以举一些很极端的例子来 乎没有无用的信息。 说明它。例如，一个长度为一百万的只包含 0 的序列所包含的信息就很少， 尽管它很长。 一一英国作家。王尔德 计算机科学家需要一种方法来量化一串序列中所包含的实质信息。一 个关键的想告是，序列是可以被充分压缩的。其实在上一段中我已经压缩 了那段信息。我没有把那串序列写出来 (那需要写成整整一本书，一定会 是有史以来最无聊的-本书)，我写的是"长度为一百万的只包含 0 的序 列短短几个字就描述清楚了。 压缩是计算机科学中一个重要的工具。在实践方面，它能够防止你计 算机的存储空间被大量的冗余信息所阻塞s 在理论方面，压缩还能够提供 一种度量信息的办告。如果我们有了一串序列，就可以问: 描述这串序列 所需的最短序列是什么? 也就是说，它能够被压缩成的最短长度是多少? 香农称这个数为这段序列的煽 (entropy ) ，它正好量化了这段序列所包含的 不可压缩信息。包含最丰富信息的序列应当是不可被再次压缩的序列。这 也就意味着序列中每一位都应当是完全不可由前面序列所预测的，整个序 列不应当包含有任何的整体模式。这样的序列有若干性质，其中之一就是 正规性 (参见第 3 问)。这也是现代逻辑学中的一个悖论，一个包含了最大 量信息的序列应当是完全随机的 ( random ) ，而随机性却应来掘于诸如掷硬 币这样没有意义的事件。 词汇去 P=NP? 理论计算机科学中最主要的问题，它所问的是:是否所有能够快速检查的任务都能够被快速 解决? π 圆的周长除以固直径所得到的敬。约为 3.142，但其十进制表示无穷无尽永不重复，因为它是 个无理数。 本福德定律( Benford 's law ) 描述一组数据中首位数出现频率的一条定律。它预言 1 到 9 这九个数字作为首位数出现的频率 是不相等的。虽不至神圣不可违背，但实际经验经常符合本福德定律。 壁纸群( wallpaper group ) 17 种抽象图案之一。这 17 种抽象图案已经囊括了所有可能存在的重复性图案。这项分类定理 是由 E 费德罗夫在 1891 年证明的。 博弈论 (game theo叮) 关于策略的科学，诞生于国际象棋等棋盘游戏的推演，现在已经是数学中的一个庞大领域。 超越数( transcendental number ) 例如 π 的一类数，无论进行多少次自乘与相加都不可能变为整数。超越性是比无理性更强的 条件。 代数基本定理( fundamental theorem of algebra ) 定理的内容是，复数足以用来求解任何我们所能预期的方程。确切地讲，任何复系数多项式都 可以在复数域内求解。 对称( symmet叮) 某些变换方齿，要求对一特定几何对象施以变换后使其看起来相同。例如对正方形施以旋转和 国 词汇表 反射操作。 工进制 (binary ) 以二取代熟悉的十作为进位制基数来书写数字的方法。十进制中的 "9" 在二进制中写作 "1001"。二进制是计算机的自然语言。 分形 (fractal) 一种几何对象，无论怎样放大，看起来都与自身相同。分形以其错综的美丽而闻名，又惊人有 效地将物质世界某些方面模型化，其中包括海岸线和商品市场。 斐波那契数列( Fibonacci sequence ) 1，1，2，3，5，8，13，21，34，…前两项之和等于下一项的数列。由 L 斐波那契在 13 世纪发现，它在 自然界的很多场合中出现，与黄金分割有着密切的联系。 费马大定理( Fermat ' s last theorem ) a" +b" = c" 这个公式来自将勾股定理中的平方用高次方替换。费马相信当 n 取大于等于 3 的值 时，任何正整数三元组都不能满足方程。A 怀尔斯在 1995 年证明了它。 复数( complex numbers ) 由新的虚数 i (其定义是 e=-l) 生成的二维数系。复数形成了最完善的数系，它满足代数基本 定理。 哥德尔不完备•性定理( Godel' s incompleteness theorem ) K 哥德尔在 1931 年得到的极为惊人的结果，它证明了人们所能构建出来的任何规则的集合都 不足够作为普通算术的基础。 勾股定理( Pythagoras' theorem) 关于直角三角形的一个基本定理。它的内容是，假设各边长度为 α，b，c (最长的为 ç) ，则有关 系式 α2 + b2 = c2 0 黄金分割( golden section ) r/J =l号丘，机 62 0 它是这样定义叫做阳两音忱整条线时长一段的比 值等于较长一段与较短一段的比值，均为￠。它与很多其他数学问题相关，尤其是斐波那契数列。 屁地理论 (chaos theo叮) 对反馈过程的研究，其特征是对初始条件极端敏感的依赖，也就是所说的"蝴蝶效应"。 级数( series ) 一系列数字不断相加。例如1+1+1+1+…是收敛的，越来越趋近于一个固定的数(该例中为 2 4 8 2)。而 1+1+1+1+...是发散的，越来越大，没有极限。 开普勒猜想 (Kepler' sωnjecture) 关于球如何有效堆积以占用最小空间的一条ìt断。J 开普勒认为最佳方曲是按六边形样式码一 层，每个球与周围六个球相接触，然后在其上堆相似的一层，使其高度降为最低，并继续这一过程。 尽管这种堆积方住每天都被全世界的蔬果商所使用，它的最优性却直到 1998 年才由T 黑尔所证明。 拉丁方( Latin square ) 一个正方形网格，每个数字在一行、一列中都只出现一次。拉丁方在一些数学领域有应用，包 括纠错编码以及每天报纸上都出现的数独。 拉姆齐定理( Rams町，s theorem) 一个重要的定理，表明在任何无序的情境下都存在高度有序的子结构。起初是在晚宴相关问题 中发现的，现已在数学许多领域中出现。 黎曼假设( Riemann hypothesis ) 可能是数学界最伟大的未解决问题。1859年黎曼描述了他认为的素数在正整数中分布的具体情 况。他的论断至今没有得到证明。 连续统( continuum ) 无穷大的第二级，高于我们所熟悉的第一级可数无穷大: 1，2，3，4，…。康托尔在 1874年证明了 连续统是比可数无穷大更高阶的无穷大，在其上还有着更高阶的无穷大。 量子力学( quan阳m mechanics ) 一项物理理论，认为物质不是仅包含粒子b性或仅表现为波动性，而是两者兼有。这项理论有许 多惊人的结论(包括薛定诲的描佯谬)，但仍被实验证据所支持。 密码学( cryptography ) 编制密码的科学。与其相对的是密码分析学 破译密码的科学。 纳维一斯托克斯方程 (Navier-Stokes equations ) 描述粘性流体流动的基本方程。值得一提的是，人们还没有找到它在数学上的解。 纽结不变量( knot invariant ) 赋予每个纽结的一个数学对象，如果两个组结是完全相同组结的不同表象，那么它们的不变量 应是相同的。一个著名的例子是 1984 年提出的琼斯不等式。寻找不变量的研究还在继续进行，人 们期待能够找到更好的不变量以区分范围更广的纽结类型。 欧拉公式( Euler' s formula ) 欧拉发现的一个高贵优雅的方程，联结了数学中五个最重要的数:♂+1 = 0 0 排列与组合( permutations and combinations ) 从一堆物体中选取若干的可能选择方式。若共有五个物体，从中选取两个就是 5 选 2 的组合， 得 10。如果要考虑选择的顺序，那么就是 5 选 2 的排列，得 20。 庞加菜猜想( Poincare conjecture ) 关于不包含空洞的三维形体的一项论述。在 20 世纪早期，庞加莱ìt断这样的形体只有三维球 面(二维球面的三维等价物)。最终在 2∞2 年由 G 佩雷尔曼所证明，成为了当代拓扑学的一座里 程碑。 平行公设( parallel postulate ) 欧几里得关于几何学的一项基本公理，声称给定直线及直线外一点，有且只有一条直线通过该 点并与已知直线平行。很长时间里人们不知道平行公设是否能从欧几里得的其他公理中推导出来。 但由于非欧的双曲几何被发现，人们最终知道这是不能的。 群 (group) 加告概念的一种抽象化。一个群包含一系列对象，可以组合起来进行运算，满足三个条件: 一、存在一个特定的单位元，与其他元素运算时保持其他元素不变(在普通加拉中是 0，例如 0+5=5); 二、任何元素者|府面茧元，相互运算时就会抵消掉 (5 的逆元是 5 ，因为-5+5=0); 三、 一个称为结合律的技术化条件，元素相运算时加括号并不影响结果(例如1+(2+3)=(1十 2) 十 3 )。 群在数学中处处出现。有些群是无限的，如正有理数在乘陆运算下形成的群。有些群是有限的，例 如立方体的全部对称所组成的群。 双曲儿何( hyperbolic geomet叮) 于 19 世纪被发现，一种不符合平行公设 (常用的欧氏几何中所包含的一条基本公设)的崭新 几何系统。 说谎者悖论( liar paradox ) 一个经典的逻辑悖论，由欧布里德在公元前四世纪提出"这是一句谎言。" 四包定理( four colour theorem ) 任何一张平面地图都能染成四色，且满足任意两相邻国家的颜色不同。F 古德里在 1852 年提 出猜想，阿佩尔和哈肯在 1976 年给出了极长的计算机辅助证明。 素数( prime number ) 只能被自身和 1 整除的正整数，如 2、3、5 和7 等。素数是构建所有其他数字的基本结构，但 关于它们的很多事情人们都还不了解。 素数定理( prime number theorem ) 给出对不大于某数的素数个数的一个估计值。高斯在 1792 年提出猜想，J 哈达马与 C 瓦莱 普桑在 1896 年证明。 算法( algorithm ) 告诉机器如何完成一个特定任务的一系列指令，在数学界以外也称做计算机程序。 条件概率( conditional probabili付) 在给定某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。当掷一均匀般子时，掷出 6 的概率是豆。 但若已知掷出的结果是偶数，则掷出 6 的条件概率是 3 0 拓扑学 (topology) 一种研究几何的方法，任何两种形体若能彼此通过拉伸变为另一个就将它们视作相同的。 完美长方体( perfect cuboid ) 各边、各面对角线以及体对角线均为正整数的长方体(即拉长或压扁的立方体)。人们还不知 道这样的长方体是否存在。如果去掉体对角线为正整数的条件就是欧拉长方体的定义。欧拉长方体 是有存在的例子的。 戚尔一弗兰泡京 (Weaire-Phelan foam) 将三维空间划分为体积相等胞腔的一种办法，是目前已知耗费材料最少的划分方曲。它于 1993 年被发现，否定了开尔文勋爵关于此问题最优解的猜想。 微积分 (calculus) 关于变化率的科学。结定一个过程，要解决寻找其变化率的问题。代数方面的规律最终由牛顿 和菜布尼茨发现。 无理数( irrational number ) 不能恰好表示为两个整数之比的数，例如 .fi和 π。 狭义相对论( special relativity ) 一项物理理论，认为所有低于光速的运动都是不可区分的，但一旦达到光速时等价性就被破坏 了。狭义相对论有许多意想不到的推论，包括时间流逝的速度对以不同速度运动的观测者来说是不 同的。 信息论( information theo叮) 由香农在 1948 年开辟，研究信息如何编码为二进制序列、如何有效传输 (无噪声信道或有噪 声信道)。尽管信息论的出现早于现代互联网，但其理论却早已包含了后者。 有限单群( finite simple group ) 有限单群是不能分解为更小的群的那些群(在某种程度上类似于素数的作用)。 有限单群分类( classification of finite simple groups ) 一条巨大的定理，于 2∞4 年完成。它列举了所有可能存在的有限单群一一对称的基本单元。 这条定理描述了 18 族有限单群及 26 个散在群，它们就涵盖了所有的可能性。最大的散在群称做 "魔群"。 元胞自动机( cellular automaton ) 一种理论装置，由一系列元胞组成，元胞根据关于相邻元胞的某种固定规律来改变颜色。尽管 这种装置很简单，但某些无胞自动机却能够胜任极其宏大的计算。 正多面体( platonic solids ) 三维中五种最为对称的形体，分别是正四面体、立方体、正八面体、正十二面体和正二十面 体。这个分类在古希腊时代就已经为人所知了。 正态分布( normal distribution ) 数据最常见的分布形式，在数学界以外常被称做钟形曲线。中心极限定理预言了，很多随机试 验只要重复足够多次都将呈现出正态分布。